Interpretation and implementation of the construction of U-spline bases and assessment of continuity constraints in plane stress problems

Abstract

U-splines ble introdusert av Derek C. Thomas, Luke Engvall, Steven K. Schmith, Kevin Tew and Michael A. Scott og er en ny tilnærming for hvordan glatt geometri kan representeres til bruk i design og analyse. Utviklingen av U-splines har vært motivert av konseptet, isogeometrisk analyse (IGA), som er å kunne benytte den samme geometriske representasjonen i både design og analyse.

U-splines har flere lovende egenskaper som mulighet for lokal forfining, integrering av trekanter og bakoverkompatibilitet meg T-splines og NURBS. Det er antatt at U-splines basisfunksjonene alltid er positive, utgjør en enhetspartisjon, er lineært uavhengige og har optimale tilnærmingsegenskaper når de benyttes i analyse. U-splines er også veldig fleksibel når det kommer til det å sette vilkårlige kontinuitetsbetingelser for et elementnett.

En tolkning og en mulig implementering av de mest essensielle konseptene som ligger til grunn for å konstruere en U-spline basis, blir presentert. U-splines blir deretter benyttet i ulike plan-spennings problemer for å undersøke effekten av å sette forskjellige kontinuitetsbetingelser i elementnettene. Tre hovedtilfeller blir sammenlignet for hvert av problemene; et tradisjonelt C0 elementnett, et spline multi-patch elementnett og et egendefinert elementnett.

Resultatene viser at det egendefinerte elementnettet gir generelt dårligere konvergensrater. Det blir konkludert med at grunnen til dette kan være en kombinasjon av høye kontinuitetskrav og et irregulær elementnett. Det antas at dette skaper et for stivt elementnett og kan være årsaken til den lave konvergensraten. Det blir også konkludert med at U-splines trolig har stort potensiale innen både design og analyse i fremtiden grunnet deres utmerkede fliksibilitet.

U-splines were introduced by Derek C. Thomas, Luke Engvall, Steven K. Schmith, Kevin Tew and Michael A. Scott. U-splines are a novel approach for representing smooth geometry for use in computer aided design (CAD) and computer aided engineering (CAE). Their development has been motivated by the vision of isogeometric analysis (IGA), which is to unify the geometric representations used in both CAD and CAE.

U-splines provide many promising attributes like local refinement, integration of triangles and backwards compatibility with T-splines and NURBS. It is conjectured that the U-spline basis is positive, forms a partition of unity, is linearly independent and provides optimal approximation properties when used in analysis. They also provide great flexibility for setting customized continuity constraints over a mesh.

An interpretation and a possible implementation of the basic concepts used in the construction of U-splines is presented. U-splines are then used in several plane stress problems to assess the effect of setting different continuity conditions over the mesh. Specifically, a case with only C0 conditions is compared with a conventional multi-patch spline case and a special U-spline case. These cases are tested for several different plane-stress problems and their convergence rates are compared for uniform refinement.

The results show that some of the special cases give low convergence rates. It is concluded that the reason for this may be a combination of high continuity constraints and an irregular mesh resulted from the projection of the modelled geometry. This is assumed to cause an over-constrained mesh and may have been the reason for the low convergence rates. It is also concluded that due to the flexibility that U-splines provide, they seem to have great potential within both CAD and CAE in the future.