Traveling Waves for a Fractional Korteweg–De Vries and a Fractional Degasperis–Procesi Equation with an Inhomogeneous Symbol

Abstract

Vi studerer to familier av ligninger: En fraksjonell Korteweg--De Vries-ligning (fKdV) gitt ved u_t + uu_x + (\Lambda^{-s} u)_x = 0 og en fraksjonell Degasperis--Procesi-ligning (fDP) gitt ved u_t + uu_x + 3/2 (\Lambda^{-s} u^2)_x = 0. Operatoren \Lambda^{-s} er en Fourier-multiplikator med symbol (1+\xi^2)^{-s/2} og s \in (0, 1). For fKdV-ligningen beviser vi at det eksisterer lokale forgreninger av løsninger rundt den trivielle løsningen, bestående av glatte og periodiske reisende bølger, og at de lokale forgreningene eksisterer som globale løsningskurver. I grensen av en slik kurve finner vi en spiss reisende bølge med maksimal høyde og beviser dens optimale $s$-Hölder-regularitet, oppnådd i spissen. For fDP-ligningen viser vi at lokale løsningsforgreninger av glatte og periodiske reisende bølger eksisterer rundt en konstant løsning til ligningen, og at global forgrening forekommer for tilstrekkelig små perioder. Videre diskuterer vi betingelser for eksistensen av en spiss reisende bølge med maksimal høyde som løser fDP-ligningen, og dens forventede regularitet. Numeriske eksempler er gitt.

We study two classes of equations: a fractional Korteweg--De Vries (fKdV) equation u_t + uu_x + (\Lambda^{-s} u)_x = 0 and a fractional Degasperis--Procesi (fDP) equation u_t + uu_x + 3/2 (\Lambda^{-s} u^2)_x = 0. The operator $\bessel{-s}$ is a Fourier multiplier with symbol (1+\xi^2)^{-s/2} and s \in (0, 1). For the fKdV equation, we prove that there exist local bifurcation branches emanating from the trivial solution, consisting of smooth and periodic traveling-wave solutions, and that the local branches extend to global solution curves. In the limit of such a curve we find a highest, cusped traveling-wave solution and prove its optimal $s$-Hölder regularity, attained in the cusp. For the fDP equation, we prove that local bifurcation branches of smooth and periodic traveling-wave solutions exist around a constant solution of the equation and that for sufficiently small periods global bifurcation occurs. Moreover, we discuss conditions under which a highest, cusped traveling-wave solution for the fDP equation exists, and its expected regularity. The theory is accompanied by numerical examples.