Convergence of stiff, nonlinear stochastic differential equations

Abstract

Dette arbeidet gir en oversikt over hvordan man kan analysere numeriske metoder for å approksimere stive, ikke-lineære stokastiske differensialligninger (SDEer). Slike systemer inntrer i flere problemer i praksis, hvilket gjør konvergens-teorien relevant også.

Nytten av den énsidige Lipschitz-betingelsen for SDEer presenteres. Hovedresultatet er en stabilitetsulikhet i L2 normen for stokastiske variabler, som ikke avhenger av stivheten til problemet, hvilket gjelder for drift-implisitte metoder opp til orden 1. For ikke-positive énsidige Lipschitz-konstanter er det ingen begrensning på steglengden. Konsistenthet av drift-implisitte metoder opp til orden 1 bevises, også uavhengig av stivheten til problemet. Kovergens-raten kan deduseres fra stabilitet-egenskapen og konsistenthet. En lignende stabilitetsulikhet bevises for generelle Lipschitz-kontinuerlige, drift-implisitte metoder, ved en modifisering av beviset i arbeidet til Winkler (2003) [28]. Resultatet gir en forbedret betingelse på steglengden.

Hensiktsmessige definisjoner av konsepter som stabilitet og konsistenthet diskuteres. De eksisterende konseptene er flerfoldige, med ulike hensikter Oppgaven argumenterer for hvordan noen kan være mer passende, og definerer B-konvergens og B-konsistenthet for SDEer.

En stor del av arbeidet presenterer teori nødvendig for å analysere stive, ikke-lineære SDEer og SDEer generelt, både numerisk og analytisk. Egenskapene til det nye konvergensteoremet testes numerisk med eksempler

This work presents an overview of how to analyze numerical methods approximating stiff, nonlinear stochastic differential equations (SDEs). They appear in several problems of practical interest, which makes the convergence theory relevant too.

The use of the one-sided Lipschitz condition for SDEs is presented. The main result is a mean-square stability inequality that does not depend on the stiffness of the problem, proved for drift-implicit methods up to order 1. For non-positive one-sided Lipschitz constants it indicates no step size restriction. Consistency of drift-implicit methods up to order 1 is proved, also independent of the stiffness of the problem. Order of convergence is deduced from this stability property and the order of consistency. A similar stability inequality is proved for general Lipschitz continuous drift-implicit methods, as an alteration of the proof from the work of Winkler (2003) [28]. The result is a slightly improved step size condition.

Discussion and definition of suitable stability and consistency principles are presented. There are many different concepts, serving different purposes. This work argues why certain principles are more fitting and defines B-consistency and B-convergence for SDEs.

A significant part of the work is devoted to presenting the theory needed to analyze stiff, nonlinear SDEs and general SDEs, both numerically and analytically. The properties of the new convergence theorem are tested numerically by examples.