Obstructions to the Surjectivity of the Thom Homomorphism

Abstract

Vi presenterer de grunnlegende egenskapene til stabil homotopiteori og generalisert kohomologi og konstruerer Thom-homomorfien fra kompleks kobordisme til singulær kohomologi. Deretter studerer vi denne homomorfien mer detaljert og viser at den ikke generelt er surjektiv ved å konstruere eksempler på singulære kohomologiklasser som ikke kan løftes til MU. Til slutt viser vi at slike kohomologiklasser kan oppstå i Eilenberg-MacLane-rom, og vi fastslår når Thom-homomorfien for K(G,n) er surjektiv hvis n>2 og G er en endeliggenerert abelsk gruppe.

We present the basic properties of stable homotopy theory and generalised cohomology and construct the Thom homomorphism from complex cobordism to singular cohomology. We then study this homomorphism in detail and show that it is not in general surjective by constructing examples of singular cohomology classes which cannot be lifted to MU. Finally, we show that such cohomology classes can appear in Eilenberg-MacLane spaces, and we determine when the Thom homomorphism for K(G,n) is surjective if n>2 and G is a finitely generated abelian group.