KOMPLEKS DYNAMIKK: - fra Wessels linjer til Douadys kanin

Abstract

Denne masteroppgaven er delt i to. Del Rmnum1 handler om Caspar Wessel og historien til det komplekse plan, mens del Rmnum2 handler om kompleks dynamikk og kvadratiske iterasjoner. I del Rmnum1 ser jeg på de komplekse tallenes historie. Det var først i forbindelse med utviklingen av likningsteorien at matematikerne støtte på betydelige problemer med de komplekse tallene. Roten av negative tall dukket opp da man på 1500-tallet prøvde å finne løsninger av tredje- og fjerdegradslikninger. Matematikerne på den tiden var kun interesserte i reelle løsninger, og så på roten av negative tall som en umulighet. Men etter hvert støtte man på de komplekse tallene mer og mer. Eksistensen av tallene var ikke helt godtatt da Caspar Wessel skrev sin avhandling som inneholdt en geometrisk representasjon av tallene. Som landmåler var Caspar Wessel interessert i polygoner og orienterte linjestykker, og skrev en avhandling i 1799 med et forsøk på å finne en algebraisk representasjon av de orienterte linjestykkene. Gjennom dette arbeidet fant han også en geometrisk representasjon av de komplekse tallene, det komplekse plan. Dessverre for Wessel skulle det gå nesten hundre år før avhandlingen hans ble kjent. Del Rmnum2 handler om kvadratiske iterasjoner. Et kvadratisk polynom kan unikt skrives på formen $P_c(z)=z^2+c$, og en er interessert i å finne ut hva som skjer med følgen ${P_c^n(z)} = z, P_c(z), P_c(P_c(z)), P_c(P_c(P_c(z))), ...$, av iterasjoner. Det utvidede komplekse planet $mathbb{C}_infty$ deles inn inn i to deler, Fatoumengden og Juliamengden. I Fatoumengden vil følgen ${P_c^n}$ oppføre seg nokså pent og kanskje til og med forutsigbart, mens i eller i nærheten av Juliamengden vil den oppføre seg ustabilt eller kaotisk. De to eneste eksemplene der Juliamengden til $P_c(z)$ er en glatt kurve er for $c$-verdiene $0$ og $-2$. For alle andre verdier av $c$ er Juliamengden til $P_c(z)$ en fraktalmengde. Dette er for eksempel tilfellet for $capprox -0.122561+0.744862i$, der $P_c(z)$ gir en innfylt Juliamengde som kalles Douadys kanin. Det er også av interesse å se på mengden av verdier av $c$ der banen til punktet $0$ under iterasjon av $P_c$ holder seg begrenset. Denne mengden kalles Mandelbrotmengden. I oppgaven vises noen egenskaper til Juliamengden og Mandelbrotmengden. Dynamikken til Douadys kanin er fint beskrevet i videoen textit{The Dynamics of the Rabbit} cite{rabbit}, og jeg kommenterer til slutt denne videoen.