Om Banachs fikspunktteorem og The Scottish Café: -Anvendelser av Banachs fikspunktteorem. -Kulturhistorisk bakgrunn for forståelsen av The Scottish Café.

Abstract

Sammendrag I kapittel 1 gjøres klart hvilke forkunnskaper som er nødvendige for å kunne forstå og ha utbytte av å lese denne oppgaven. Det henvises også til litteratur som kan brukes som oppslagsverk hvis noen begreper under lesningen skulle være ukjente. I kapittel 2 klargjøres sentrale begreper som fikspunkt, kontraksjon og kompletthet. Dernest presenteres Banachs fikspunktteorem med bevis. Kapitlet peker også mot ulike anvendelser av teoremet. Kapittel 3 handler i sin helhet om den velkjente Newtons metode. I sin enkelthet demonstrerer den hvordan vi kan finne tilnærmede løsninger ved iterasjoner. Arbeid med denne metoden er derfor nyttig for forståelse av Banachs fikspunktteorem og anvendelser av teoremet i mer abstrakte sammenhenger. I kapittel 4 viser vi hvordan vi kan finne en tilnærmet løsning av en partiell differensialligning ved hjelp Jacobi-iterasjon. For å demonstrere metoden tar vi utgangspunkt i et velkjent varmeledningsproblem. Vi bruker Banachs fikspunktteorem for å vise at metoden kan brukes i vårt tilfelle. Dette leder oss inn i flere disipliner av matematikken, og vi får derved demonstrert ulike teknikker for å løse denne type problemer. I kapittel 5 dreier det seg om differensialligninger og integralligninger. Som vi skal se har Picards entydighets- og eksistensteorem nær tilknytning til Banachs fikspunktteorem. Vi vil få demonstrert hvordan metoden kan brukes til å finne tilnærmede løsninger og i noen tilfeller eksakte løsninger av ordinære differensialligninger. Vi gir også et enkelt eksempel på bruk av Banachs fikspunktteorem i forhold til en spesiell type integralligning, Fredholm-ligninger. I kapittel 6 bruker vi Banachs fikspunktteorem til å bevise det inverse funksjonsteoremet. I kapittel 7 er siktemålet å sette The Scottish Café inn i en kulturhistorisk sammenheng. Vi begynner med å skissere et historisk bakteppe hvor vi søker å gi en viss oversikt over Polens historie. Behandlingen av jøder i Polen fram til 1940 blir et hovedtema. Dernest beskriver vi historien til The Scottish Café. Vi gir også en vurdering av hvilke faktorer som hadde betydning for utviklingen av miljøet. Noe av hovedkonklusjonen er at utviklinv vi gen av de sterke matematikkmiljøene i Polen i mellomkrigstiden langt på vei kan sees på som en del av nasjonsbyggingen i Polen. Utviklingen av det spesielle og særegne miljøet i The Scottish Café kan derimot sees som en reaksjon på antisemittismen i det polske samfunnet. I kapittel 8 finner vi noen refleksjoner over det vi har arbeidet med.