Investigating Sum of Squares Applicability for Large Signal Stability Certificates in Electrical Systems

Abstract

Denne masteroppgaven fortsetter arbeidet som ble startet i det tilhørende spesialiseringsprosjektet, ved å videre undersøke Sum of Squares metoden som et verktøy for å oppnå stabilitetssertifikater, dvs. Estimasjon av attraksjonsområdet, for elektriske systemer av interesse. Kraftsystemet må kunne operere på en trygg og uavbrutt måte. Matematisk sett, kan dette bli sett på fra et systemstabilitets perspektiv. Dersom systemet er utsatt for en potensiell uforutsett forstyrrelse, vil det trygt returnere til sitt nominelle driftspunkt. Stabilitets analyse verktøy blir mest brukt for å kunne garantere stabil drift under små forstyrrelser men kommer til kort når forstyrrelsen er stor, da disse analysene baseres på linearisering. Denne oppgaven forsøker å overvinne denne begrensningen ved å utføre analysen direkte på det ikke-lineære systemet, ved å estimere et attraksjonsområde ved å bruke konveks optimering og mer spesifikt Sum of Squares metoden. Dette estimatet av attraksjonområdet vil fungere som et sterkt stabilitetssertifikat, da det garanterer stabilitet så lenge systemets startbetingelser holder seg innenfor the estimerte området, som er estimert på grunn av vanskligheten av å finne the faktiske området. Sum of Squares metoden blir brukt til denne estimeringen og blir sentral i vår undersøkelse. Og store deler av denne masteroppgaven vil fokusere på den korrespoderende bakgrunnen og definisjoner som blir introdusert for å avklare metoden og dens bruk. Metoden blir grundig undersøkt, og alle stegene i metoden blir nøye gjennomgått for å gjøre metoden tilgjenglig og reproduserbar for fremtidig arbeid. En annen viktig del av metoden er basert på inneslutningsligningen som er basert på Positivstellensatz. Denne ligningen sier at et sett garantert er inni et annet dersom ligningen holder. Dette blir utnyttet for å forsikre at estimatet av attraksjonsområdet ikke overskrider Lyapunov kriteriene for et stabilit system. Dessuten er hele optimeringsproblemet i SOS metoden basert på denne inneslutningsligningen, og for å løse det store optimeringsproblemet blir V-s iterasjon vurdert. Denne består av fem steg for å forstørre estimatet av attraksjonsområdet iterativt og dens tilhørende Lyapunov funksjon. For å lære mer om anvendelsen av SOS metoden, og dens programmering, blir metoden først anvendt på to komplementære systemer, som er mindre kompleks enn vindenergi omdannelses systemet(WECS) vi ønsker å anvende det på. Dette er for å lære hvordan YALMIP verktøykassen virker siden det overraskende nok fins lite informasjon om dette temaet. Anvendelsen fører til flere problemer, blant annet stoppkriteriet for while-løkkene og definisjoner av variabler og funksjoner. Videre retter vi oppmerksomheten vår mot et vindenergiomdannelsessystem. Vi implementerer en leder-følger filosofi der generatoren og vindturbinen kan operere uavhegig av resten av systemet. Dette ble gjort for å gjøre systemet enklere å håndtere, og gav en bedre sjanse for SOS metoden å fungere. Deretter blir en PI passivitets basert regulator anvendt for å lukke løkken og kontrollere hastigheten for maksimal kraftutvinning. Regulatordesignet blir supplert av en grundig likevektsanalyse, som deretter ble brukt til å definere den inkrementelle dynamikken med hensyn til dette. SOS metoden ble så anvendt siden the originale likevektspunktet(null) var uintressant å undersøke fra et stor signalfølsomhetsperspektiv. Testingen av komplementærsystemene forbedret forståelsen vår av verktøykassen, nok til å implementere metoden på WECS og det ble implementert med noe suksess. Med en gang, ble det første optimeringsproblemet ikke løslig, men dette problemet ble løst ved å linearisere den deriverte Lyapunov funksjonen. Etter dette fungerte metoden frem til steg fire, som også stoppet komplimentærsystemene. Alt dette resulterte i et produkt som kan bli brukt til å fylle hulllet i implementeringen av SOS metoden i komplekse elektriske system.

This thesis continues the work started in the associated specialization project by further investigating the Sum of Squares(SOS) method as a tool for obtaining large signal stability certificates i.e., estimates of the region of attraction, for electrical systems of interest. The power grid is required to operate in a safe and uninterrupted way. Mathematically, this can be viewed from the lens of system stability. If the system is subjected to a potentially unexpected disturbance, it will safely return to its nominal operating point. Most widely used stability analysis tools are able to guarantee stable operation only when the system is subjected to a small disturbance but fall short when the disturbance is large, as these analyses are based on linearization. This thesis aims to overcome this limitation by performing the analysis directly in the nonlinear system, by estimating a region of attraction using convex optimization and specifically the Sum of Squares method. The estimate of a region of attraction is a strong stability certificate, as it guarantees stability as long as the system’s initial conditions stay inside the estimated area; which is estimated due to the difficulty of finding the actual area. The Sum of Squares method is utilized for this estimation, and becomes central in our investigation, hence large parts of this thesis will focus on its corresponding background and definitions introduced to clarify the method. The method is thoroughly investigated, and all the steps are explained in detail to make the method accessible and reproducible for future work. Another key part of the method is based on a set containment equation based on the Positivstellensatz. This equation states that a set is guaranteed to remain inside another if the equation holds. This is exploited to ensure that the estimate of the region of attraction does not exceed the Lyapunov criteria for a stable system. Moreover, the whole optimization problem in the SOS method is based on this set containment equation. To solve this significant optimization problem, a V-s iteration is considered, which consists of five steps to enlarge the estimate of the region of attraction iteratively and its accompanying Lyapunov function. To learn more about the application of the SOS method, and its programming in particular, the method is first applied to two complementary systems, which are less complex than the wind energy conversion system we want to apply it. This is to learn how to use the YALMIP toolbox well since surprisingly there is so little information on this topic. This application encounters several issues, such as stopping criteria for a while loops and definitions of variables and functions. Furthermore, we turn our attention to a wind energy conversion system. We implement a leaderfollower philosophy where the generator and wind turbine can operate independently from the rest of the system. This is to simplify the system, and give a better chance of the SOS method working. We then apply a PI passivity-based controller to close the loop and control the speed for maximum power extraction. The controller design is accompanied by a thorough equilibrium analysis, which is subsequently used to define the incremental dynamics of our system. The SOS method is then applied to this model since the original equilibrium point(zero) was uninteresting to investigate from a large signal stability point of view. The testing on the complementary systems improves our understanding of the toolbox enough to implement it on the WECS, and it is implemented with some success. Immediately, the first optimization problem is infeasible, but this issue is solved by linearizing the derivative of the Lyapunov function. After this, the method works until step four, where the complementary systems encounteres the same issue. All this results in a product that can be utilized to fill the gap in the implementation of the SOS method on complex electrical systems.