Analytic Gradients Based Parametric Optimization using CutFEM

Abstract

Denne avhandlingen presenterer en metodikk for å beregne analytisk deriverivasjoner av visse mekaniske egenskaper, for eksempel eksempel stivhetsmatrisen, med hensyn til parametrene som definerer geometrien, for eksempel høyden på en utkragebjelke. Beregningen benytter en implementering av den isogeometriske metoden beskåret finittelementmetode (CutFEM).

Evnen til å beregne analytiske gradienter av egenskaper med hensyn til parametere er verdifull for gradientbasert optimalisering. Spesielt utforskes scenariet av å minimere ettergivenhet mens man holder seg til en forutbestemt maksimal materialmengde, selv om andre muligheter også er bemerket. CutFEM gir fordelen med et fast bakgrunnsnett som ikke påvirkes av endringer i geometri, noe som gjør det særskilt egnet for parametrisk optimalisering da det eliminerer behovet for komplekst nett, og omnettlegging.

Et utkrageraktig plateproblem introduseres hvor parametere beskriver formen til en glatt funksjon (spesifikt en B-spline) som representerer høyden på en 2D utkragerbjelke. Alle sidene på platen er rette, bortsett fra den parameteriserte toppen. Målet er å optimalisere formen på denne glatte funksjonen for å minimere ettergivenhet mot en punktbelastning plassert i nedre høyre hjørne, samtidig som begrensninger på det totale arealet er begrenset. Det optimale geometrien ble beregnet både med klassisk

Finittelementmetode (FEM) og CutFEM, som ga lignende, men ikke identiske, resultater. Noen analyser tyder på at en del av avvikene ville forsvinne hvis en jevnt fordelt belastning langs den høyre enden ble brukt. De gjenværende avvikene kunne ikke forklares, likevell synes de oppnådde resultatene til å indikere at for plateproblemet vurderer CutFEM-implementasjonen buede geometrier som for myke sammenlignet med når kanter består av rette linjer, og at dette påvirker dens dens vurdering av hvilken geometri som er optimal.

Til slutt presenteres forslag til forbedringer av de anvendte metodene, med særlig vekt på å redusere diskontinuiteter og raskere beregninger. Disse forslagene tar hensyn til hvilke egenskaper som er viktige i sammenheng med optimalisering.

This thesis introduces a strategy for finding analytical derivatives of certain mechanical properties, such as the stiffness matrix, with respect to geometry-defining parameters, such as the height of a cantilever beam. The calculation uses an implementation of the isogeometric method known as cut finite element method (CutFEM).

Analytical gradients of properties with respect to parameters are useful for gradientbased optimisation. In particular, the case where minimising compliance using a set maximum amount of material is discussed, although other possibilities are also noted. CutFEM has the advantage of having a fixed background mesh that is independent of the geometry, which makes it particularly well suited for parametric optimisation since it requires neither complicated meshing nor re-meshing.

The thesis aims is not to directly describe a general solution to a general CutFEM implementation, rather it uses a specific minimalist implementation as a foundation to introduce the necessary concepts in an easy and intuition-based manner. The implementation flaws and shortcomings are used as examples of pitfalls, thoroughly discussed, and improvements are suggested.

A sheet problem is introduced where parameters describe the shape of the smooth function, particularly a B-spline, representing the height of this cantilever. All sides are straight, except for the parameterised top. The shape of this smooth function is optimised to minimise compliance against a point load placed at the lower right corner, with constrictions on the total area. The optimal result was calculated using classical FEM and CutFEM, with similar but not identical results. Some analysis suggest that some of the discrepancies likely would disappear if a uniformly distributed load along the right end was used. The reaming discrepancies could not be accounted for, and the obtained results seem to indicate that for the sheet problem, the CutFEM implementation has a slight bias towards evaluating curved geometries as too soft compared when edges composed of straight lines. This bias does in turn bias what is considered optimal.

Finlay suggestions for improvement of the schemes used are presented, these take notes of what important characteristics are important in the context of optimisation. With particular emphases on reducing discontinues, and quicker calculations.