\chapter{Sammendrag på Norsk}\label{Norsk}
Atomer er grunnleggende byggeklosser for materie, bestående av en atomkjerne med protoner og nøytroner, og en sky av elektroner som omslutter den. Studie av atomers egenskaper er av interesse både for fundamental forskning og teknologiske anvendelser. Én egenskap av interesse er atomkjernens magnetiske moment, som kan måles direkte ved høy-resolusjon spektroskopiteknikker som kjernemagnetisk resonans (NMR). Dette er dog ikke mulig for tilstrekkelig ustabile isotoper, fordi det krever en viss levetid for atomkjernen. I stedet må indirekte metoder brukes, for eksempel studie av hyperfinstrukturen.
I atomer er elektronene tvunget til å være i spesifikke, diskré energinivåer, som beskrevet av kvantemekanikk. Hyperfinstrukturen er små splittinger av disse tillatte energinivåene i flere veldig nærliggende nivåer som resulterer av svake elektriske og magnetiske vekselvirkninger mellom atomkjernen og elektronskyen. Det magnetiske momentet i atomkjerner med kort levetid kan finnes fra spektroskopiske målinger av hyperfinstrukturen, når disse sammenlignes mellom den ustabile isotopen og en mer stabil referansenuklide med kjent magnetisk moment. Disse beregningene involverer forholdet mellom magnetisk dipol hyperfinstrukturkonstantene $A_1$ og $A_2$ i de to nuklidene. Dette forholdet kan ikke bestemmes eksakt på grunn av den såkalte differensielle hyperfine anomalien, som skyldes den forskjellige størrelsen til atomkjernene. Noe av usikkerheten grunnet denne anomalien kan fjernes ved å beregne noen korreksjoner, inkludert Breit-Rosenthal (BR) korreksjonen grunnet distribusjonen av elektrisk ladning i de to kjernene.
Denne rapporten presenterer beregninger av Breit-Rosenthal (BR) korreksjonen til hyperfin anomalien for tilstandene $6p^2 \: ^3P_1, ^3P_2$ og $^1D_2$, og $6p7s \: ^3P_1$ mellom \ce{^{207}Pb} og andre isotoper. Disse ble beregnet numerisk med multikonfigurasjon Dirac-Hartree-Fock (MCDHF) metoden ved bruk av programpakken General Relativistic Atomic Structure Package 2018 (GRASP2018) \cite{fischer2019grasp2018}. Atomkjernen ble modellert ved en to-parameter Fermi-distribusjon, hvor BR-effekten ble approsimert ved variasjon i middel kvadrert radius $\langle r_n^2 \rangle$. Fermifordelingen er
\begin{equation}
\rho (r) = \frac{\rho_f}{1+e^{(r-c)/a}},
\nonumber
\end{equation}
der $c$ er halv-tetthet radien slik at $\rho(c) = \frac{1}{2}\rho(0)$ og $a$ er en diffusitetsparameter relatert til hudtykkelsen $t$ ved $t = a\cdot4ln3$ \cite[p.~5]{maartensson2007atoms}.
GRASP2018 er basert på approksimerte, relativistiske bølgefunksjoner kalt atomtilstandfunksjoner (ASFs), hvor de gode kvantetallene er paritet $P$ og total dreieimpuls $J$. Disse er lineærkombinasjoner av dreieimpulskoplede basistilstander, såkalte konfigurasjonstilstandfunksjoner (CSFs), som i seg selv også er egentilstander av paritet og total dreieimpuls. Disse blir bygt opp av antisymmetriserte produkter av én-elektron Dirac spin-orbitaler, som er generelle løsninger av Dirac-ligningen i et sentralfelt. En fullstendig relativistisk behandling basert på Dirac-ligningen er særlig viktig i tunge atomer, hvor relativistiske effekter er store. Elektronkorrelasjon utover sentralfelt-approsimasjonen inkluderes ved å ta med CSFs som korresponderer til et videre utvalg av elektronkonfigurasjoner med passende vekting. Atomtilstandfunksjonene kan da skrives
\begin{equation}
\ket{\Gamma PJM_J} = \sum_{i=1}^{N_{csf}} c_{\Gamma_i}\ket{\Gamma_i PJM_J},
\nonumber
\end{equation}
der $N_{csf}$ er antall CSFs i ekspansjonen, $c_{\Gamma_i}$ er ekspansjonskoeffisientene og $\Gamma$ representerer alle andre kvantetall som trengs for å unikt identifisere tilstanden. Gitt en CSF basis, optimeres ekspansjonen med MCDHF metoden der variasjonsprinsippet brukes med hensyn på variasjoner i orbitalene og ekspansjonskoeffisientene. Energifunksjonalen konstrueres med den approsimerte, såkalte Dirac-Coulomb (DC) Hamiltonoperatoren
\begin{equation}
\hat{H}_{\text{DC}} = \sum_{i=1}^N \left[ c \boldsymbol{\alpha}_i \cdot\textbf{p}_i + (\beta_i - I_4)c^2 + \hat{V}_n(r_i)\right] + \sum_{i=1}^N\sum_{i<j}\frac{1}{r_{ij}},
\nonumber
\end{equation}
der én-elektron operatorene er de relativistiske Dirac-operatorene, mens to-elektron operatorene approsimeres ved Coulomb frastøtning. I basisen av orbitalene opptimert med MCDHF metoden basert på DC Hamiltonoperatoren, kan ekstra korreksjoner legges til i en konfigurasjonsvekselvirkning. Her optimeres ekspansjonskoeffisientene ved å først diagonalisere Hamiltonmatrisen og løse egenverdiproblemet $\textbf{H}\textbf{c}=E\textbf{c}$, der de nye egenvektorene korresponderer til de opdaterte ekspansjonskoeffisientene. I GRASP2018 legges Breit korreksjon og korreksjoner fra kvanteelektrodynamikk (QED) til på denne måten. Gitt en ferdig optimert ASF, kan observerbase størrelser beregnes fra denne.
I det utførte arbeidet ble hyperfinstrukturkonstantene i de fire nevnte tilstandene beregnet for 10 forskjellige radier i Fermi-fordelingen. Variasjon i middel kvadrert radius $\langle r_n^2 \rangle$ korresponderte til hele isotopbredden til bly, basert på data fra Angeli og Marinova \cite{angeli2013table}. Forskjellen i beregnet $A$ sammenlignet med referanseradien $\delta A/A_0$ for de 10 datapunktene ble beregnet sammen med proportionalitetskonstanten $\lambda$ i den lineære tilpasningen $\lambda\langle r_n^2 \rangle$. En slik beregning av $\lambda$ ble gjort basert på 20 forskjellige CSF ekspansjoner av varierende størrelse og medfølgende krav til datakraft. GRASP2018 ble kompilert med en utvidet grid, som anbefalt for tunge, nøytrale atomer av \cite{Grasp_Manual} og \cite{jonsson2013new}. De anbefalte verdiene for $\lambda$ i de fire tilstandene basert på dette arbeidet er gitt i tabell \ref{Norsk_Tabell}
\begin{table}[!htb]
\centering
\hspace*{-0cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{State} & $6p^2 \: ^3P_1$ & $6p^2 \: ^3P_2$ & $6p^2 \: ^1D_2$ & $6p7s \: ^3P_1$ \\
\hline
$\lambda[\%\: $fm$^{-2}]$ & -0.083(2) & -0.009(4) & 0.09(2) & -0.065(3) \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Anbefalte verdier for proportionalitetskonstanten $\lambda$ i den lineære tilpasningen $\lambda\langle r_n^2 \rangle$ for BR-effekten, basert på det presenterte arbeidet.}
\label{Norsk_Tabell}
\end{table}
Resultatene indikerer at ett $s$-elektron i det ytre valensskallet gjør at mindre CSF ekspansjoner er nødvendig for beregninger av hyperfin anomali. Dette er dog noe som bør studeres nøyere. Generelt indikerer arbeidet at store CSF ekspansjoner ikke nødvendigvis trengs for beregninger av hyperfin anomali så lenge god konvergens mot de eksperimentelt observerte verdiene av hyperfinstruktur konstanten $A$ i referanseisotopen er oppnådd.
Videre ble beregninger utført der hudtykkelsen $t$ til atomkjernen ble variert med $\pm 0.1$fm og $+0.2$fm fra referanseverien $2.3$fm. Dette tilsvarer ett og to standardavvik i verdiene funnet ved å tilpasse Fermi-parameterene til eksperimentelle spredningsdata \cite[p.~31-36]{Elton1961NuclearSizes}. De resulterende variasjonene i de beregnede $\lambda$ var minst én størrelsesorden mindre enn usikkerheten i bestemmelsen av $\lambda$ basert på variasjon i radien. Det er derfor trolig at hudtykkelsen ikke påvirker BR-effekten mye, så lenge hudtykkelsen ikke varierer mye mellom isotopene, noe som indikerer at den lineære tilpasningen $\lambda\langle r_n^2 \rangle$ er en god approksimasjon for BR-effekten.