Statistical Properties of a Single-Phase Bingham Fluid in a Porous Media

Abstract

Del I (Prosjektoppgave): Effekten av en Terskelstressreologi på Strømninger i Porøse Medier Tofasestrømmer i porøse medier er komplekse fenomener som foregår over alt, fra et delikat pennestrøk til utvinning av grunnvann finner man slike systemer. De er viktige til flere praktiske formål, og dets indre mekanismer har blitt omhyggelig studert og forsket på i flere tiår. Fagfeltet står sentralt i både matematikk, geologi, kjemi og fysikk, og må kunne kalles tverrfaglig. Effekten av terskelstressreologi i en tofasestrømning er dog ikke viden kjent, og de er utfordrende å se på numerisk, da det å løse ligningene eksakt vil være svært beregningstungt -- det krever flittig modellering for å ha sjans på å studere noen størrelse av betydning. Disse terskelstressreologiene finner vi blant annet i gjørmer og pastaer, og har anvendelser i en god del hverdagslige produkter, som tannkrem, for eksempel. I dette arbeidet implementerer vi en \emph{Agumented Lagrangian Method} (ALM) i en pore-nettverksmodell (PNM) som gjør det mulig å se på systemstørrelser av disse ikkelinære reologiene. Effekten av terskelstress modelleres på enkleste vis som en Bingham-fluid, og kan simuleres for ønskede verdier av strømningsrate, overflatespenning, geometrier og terskelstress. Resultatene viser at nettverksmodellen er i stand til å reprodusere noen kjente resultater for vanlige, Newtonske fluider, som ble brukt til å teste dens troverdighet. Økende terskelstress gir kvalitativt veldig ulike mønstre og oppførsler, blant annet ved en potenslov mellom strømningen gjennom mediet og trykkfallet gjennom -- dette fungerer som enda en test på at ALM-løseren fungerer som den skal. Dermed er alt lagt til rette for å undersøke effektene av de mest relevante parameterene som vi kan styre ved simuleringene, i et forsøk på å lage et resulterende fasediagram av hva som skjer.

Del II (Masteroppgave): Statistiske Egenskaper i en Énfase Bingham-Fluid Strømning i Porøse Medier Énfase Binghamfluider i porøse medier er kompliserte systemer som ikke er fullt forstått, men som likevel har umiddelbar nytte både for industri og for videre forskning. Vi har en slående likhet med magnetiske flukslinjer i type-II høytemperaturs-superledere, på grunn av en lignende underliggende struktur: Begge vil ha foretrukne veier gjennom det uordnede landskapet de skal gjennom. Dette er igjen eksempler på \emph{Directed Polymers in Random Media} (DPRM), og vi definerer en grunntilstand som minimerer trykkfallet fra terkselstressene over hele systemet. I denne grunntilstanden vil de åpne veiene i nettverket slå seg sammen, hvor sannsynligheten for at to veier slår seg sammen er den samme som ruheten i DPRM. Resten av det urørlige Binghamfluidet vil holde seg i klynger, hvis fordeling blir funnet til å passe med en potenslov $p(S)\propto Q^{-\tau}$ med $\tau=1.4$. Grunntilstanden brukes så til å forstå overgangen mot et fullt strømmende system, hvor vi ser på klyngefordelingene, utviklingen av strømmende veier gjennom systemet, og til slutt den effektive permeabiliteten til strømningen i nettverksmodellen, som ikke oppfører seg på den vanlige "Darcy-strømning"-måten. Et stabilt antall strømmende grener i nettverket, $n_0$, defineres, noe vi finner igjen når vi ser på tofase-Binghamstrømninger gjennom nettverket. Terskelstressdominerte tofasestrømmer har flere likheter med deres énfase motpart, eksempelvis finner vi igjen en overgang fra en DPRM-type strømning til et fullt strømmende nettverk ved noen spesielle tilfeller. Antallet strømmende grener og klyngestørrelser egner seg til å karakterisere og forstå dette komplekse og uoppdagede forskningsfeltet innen tofasestrømmer med terkselstressreologi i porøse medier.

Part I (Project thesis): The effect of a Yield Stress Rheology in a Porous Media Two phase flows are complex phenomena that occurs everywhere from the stroke of a pen to the extraction of ground water, having a great importance in a wide array of engineering applications. Their inner workings has been studied for decades, and the field has heavily involved both a mathematical, geological, chemical and physical perspective. However, the effects of yield stress rheologies in a two phase flow are still far from understood. Solving these systems on useful scales is very computationally expensive, hence sophisticated modeling is required to analyse the system-size behaviors. Yield stress rheologies are present in many commonly encountered fluids, pastes and muds, with applications in industries and everyday life. In this work, a pore-network model is implemented with a recently developed Agumented Lagrangian Method, making it possible to study the system-size effects with a nonlinear rheology in reasonable time. The effect of the yield stress is modeled as a Bingham fluid and can be studied for various flow rates, surface tensions, geometries and yield stresses. The results show that the network simulator is capable of reproducing some of the existing Newtonian results, indicating that the simulator runs successfully. For increasing yield stresses we get very different patterns and behaviors, and the immobilized fluid forms interesting patterns that are discussed qualitatively. A power-law relation between the system threshold pressure and imposed flow rate was finally found in a single phase Bingham flow, demonstrating that the simulator reproduces known yield stress effects as well. The Agumented Lagrangian Method has proved useful in effectively solving the system equations, and the modeling allows for varying a wide range of parameters and their interplay with the yield stress rheology. Hence, further work will be focused on systematically vary the most relevant parameters, and to characterize the flow patterns both qualitatively and quantitatively in the goal of making a phase diagram analogous to the Newtonian ones available in literature, using tools from statistical physics.

Part II (Master thesis): Statistical Properties of a Single-Phase Bingham Fluid in Porous Media Single-phase Bingham fluids in porous media are complex systems not well understood, yet with immediate utility both in industry and in scientific measurements. They exhibit a striking similarity to magnetic flux lines in high-Tc superconductors, with the same underlying structure: both will have directed preferential paths through the system, making highways through the disordered landscape. These are examples of the directed polymer in random media, and a ground state minimizing the pressures associated to yield the Bingham fluids is defined. In the ground state, paths merge with a certain rate, corresponding to the roughness of the directed polymer; the remaining immobilized fluid can be divided into clusters, whose probability density function (PDF) follow a power-law as p(S) ∝ Q−τ with exponent τ = 1.4. The ground state is then used to understand the transition observed towards a fully flowing system, looking at the cluster size PDF, evolution of branches, and finally the effective permeability of the flow state, behaving in a non-Darcy way. A stable number of branches, n0 is found, and is shown to give the same scaling properties for two-phase Bingham flows; indeed, yield stress dominant two-phase flows exhibit several similarities to their single-phase counterparts. For instance, the transition from a directed polymer ground state into a fully mobilized network was also found in a special case in the two-phase Bingham flows. The amount of branches and characteristics of immobilized clusters are believed to make good measures for characterizing and understanding the complex and unexplored field of two-phase flows in porous media with yield stress rheologies.