Bjelker med varierende bjelkehøyde

Abstract

Hensikten med denne studien er å finne ut hvordan bjelker med varierende tverrsnittshøyde skal dimensjoneres. Slike bjelker har den fordelen at de er materialbesparende, at de utnytter geometrien til det fulle, samt at utformingen kan utnyttes arkitektonisk. Allikevel har ingeniører ingen teoretisk dekning bak hvordan man skal dimensjonere bjelker med varierende tverrsnittshøyder --- for det meste vil dimensjoneringen bestå i å enten modifisere kjente bjelkelikninger eller i å gjøre konservative vurderinger.

Selve problemet har blitt belyst tidligere. I 1891 gjorde Wilson et fotoelastisk eksperiment, året senere utledet Boussinesq noe teori basert på eksperimentet. Timoshenko har selv dekket pensumet i hans "Theory of elasticity" og i moderne tid har Trahair belyst problemet. Og det er nettopp artikkelen til Trahair denne rapporten sentreres rundt: Med utgangspunkt i at spenninger på et halvuendelig medium brer seg ut i sirkler, vil vi anta at bjelker med lineært varierende tverrsnittshøyde oppfører seg som kiler og at spenningene som oppstår brer ut radielt fra et "skjæringspunkt".

Rapporten vil avgrenses til å kun se på oppførsler i-planet. Fokuset ligger på hvordan normal- og skjærspenninger brer seg ut for sirkulære og vertikale tverrsnitt og hvordan resultatene stemmer overens med hverandre. Sammenligninger blir gjort med transformerte spenninger fra elementmetodeprogrammet Abaqus og radielle spenninger fra likninger gitt av Trahair. I tillegg blir forholdet mellom horisontalkomponenter av radielle spenninger og normalspenninger fra klassiske bjelkelikninger belyst.

Fire kiler med ulike vinkler og lengder blir analysert i Abaqus. Disse kilene har som oppgave å (a) gjenskape Trahairs resultater, (b) simulere en "reell" bjelke og (c) se hvordan kileteorien stemmer med økende vinkler. I tillegg blir en I-bjelke modellert i Abaqus og analysert med håndregning.

Resultater fra Abaqus blir eksportert til Excel, hvor de blir sammenlignet med likninger fra kileteorien. Sammenligningen gir et forholdstall, hvor et forholdstall nærmere 1,000 viser godt samsvar. Forholdstallet til (1) transformerte Abaqusspenninger og radiell normalspenning blir observert for sirkulære og vertikale tverrsnitt. Kun for vertikale tverrsnitt blir også (2) horisontalkomponenten til radiell spenning sammenlignet med kjente bjelkelikninger.

Studien viser at (1) spenninger-fra-Abaqus & kileteori samt (2) kileteori & kjente-bjelkelikninger korrelerer godt for kiler med vinkler opp til 15 grader både for sirkulære og vertikale tverrsnitt. For kiler med vinkel omtrent 15 grader vil (2) kjente bjelkelikninger og radielle spenninger dekomponert i horisontalretning skurre og kun være delvis OK. Når vinklene kraftig overstiger 15 grader vil resultater fra Abaqus, kileteorier og kjente bjelkelikninger sprike så mye at det blir vanskelig å trekke noen slutninger.

En av de vanligste bjelkene med varierende tverrsnittshøyde i bruk er den med horisontal underside og skrå overside. Mangelen med denne studien er at slike bjelker ikke blir studert med FEA. Studien dypper tåen, men dykker ikke ned i materien. Til et videre arbeid er det også nettopp dette som vil være interessant å belyse: Oppførselen i-planet til bjelker med én skrå kant.

The purpose of this study is to find out how to dimension web-tapered beams. Such beams have the advantage that they are material-saving, that they utilize the geometry to the full, and that the design can be utilized achitectually. Despite this, do the engineers have little theoretical background to how web-tapered beams shall be dimensioned --- in great part it's done by either modifying well-known beam equations, or by doing conservative evaluations.

The problem has been discussed earlier. In 1891 a photoelastic experiment was done by Wilson, the year later Boussinesq developed some theory based on the experiment. Timoshenko has also mentioned the problem in his "Theory of elasticity", and in modern times has Trahair discussed it. And it's exactly this article of Trahair that this report will cover: Based on the premiss that stresses in semi-infinite solids develops in circles, will we assume that web-tapered beams behave like wedges and that it's stresses develop radially from an "apex point".

The report will be bounded to only analysing in-plane behavior. The focus will be upon how normal- and shear stresses develops for circular and vertical sections, and to how these results correlates. Comparisons will be done by transformed stresses from the finite element program Abaqus and radial stresses from equations given by Trahair. The horizontal component of radial stresses and normal stresses from classical beam equations will also be compared.

Four wedges with different angles and length are analysed in Abaqus. The purpose of these wedges are to (a) recreate the results of Trahair, (b) to simulate a "real" beam, and (c) to view how the theory of wedges behaves with increasing angles. In addition an I-beam will be modelled in Abaqus and analysed with hand calculations.

The results from Abaqus gets exported to Excel, where they will be compared to equations from the theory of wedges. The comparisons give a relation, where a relation closer to 1,000 shows good correlation. The relation for (1) transformed Abaqus-stresses and radial normal stresses will be observed for circular and vertical sections. And only for vertical sections will the (2) horizontal component of the radial stresses be divided by known beam equations.

This study shows that (1) stresses-from-Abaqus & theory-of-wedges and (2) theory-of-wedges & known-beam-equations correlates well for wedges with angles up to 15 degrees, both for circular and vertical sections. For wedges with angles around 15 degrees will (2) known beam equations and horizontally decomposed radial stresses only be partly OK. When the angles greatly surpasses 15 degrees will the stresses from Abaqus, the theory of wedges and known beam equations differ so substantially that it's hard to draw any conclusions.

One of the most commonly web-tapered beam in use got a horizontal underside and an inclined overside. The lack of this study is that such beams are not analyzed with FEA. The study dips it's toe, but does not dive into the matter. For future work I will recommend looking closer at exactly this kind of beam, and it's behavior in-plane.