Lagrangian methods and density estimation for advection-diffusion problems
Master thesis
Permanent lenke
https://hdl.handle.net/11250/2785573Utgivelsesdato
2021Metadata
Vis full innførselSamlinger
- Institutt for fysikk [2698]
Sammendrag
Denne oppgaven undersøker numerisk transport i to dimensjoner i et periodisk dobbel-vortexstrømningsfelt som presentert i Shadden et al. (2005) med konstant diffusjon, gjennom å benyttebåde eulerske og lagrangske metoder. Adveksjon-diffusjonligningen er løst direkte gjennom å brukeden endelige differansemetoden Crank-Nicolson på en uniform grid, referert til som en eulerskfluid metode. Bruk av sentrale endelige differansemetoder for å løse adveksjonsdominerte systemerinvolverer ofte problemer relatert til oscillerende løsninger. For å unngå negative verdier i løsningenblir det benyttet høyere diffusjon for å senke det maksimale Péclet-tallet per gridcelle, som blirbrukt i området {0.16,3.24}. Den lagranske partikkelmetoden er presentert gjennom å utlede enstokastisk differensialligning hvis Fokker-Planck ligning er lik adveksjon-diffusjonligningen dersombåde diffusjonen og strømningsfeltet er glatt. Det er benyttet en Monte Carlo teknikk for å løseden stokastiske differensialligningen gjentatte ganger, hvor løsningene kan sees på som et stokastiskutvalg fra distribusjonen. Kernel density estimering (Kernel-tettheter) er benyttet for å estimereog konstruere fordelingen utvalget kommer fra. Partikkelmetoden gir likt resultat som den direkteeulerske metoden for adveksjon-diffusjonligningen i dobbel-vortex systemet med konstant diffusjon.En optimal båndbredde på kernel-funksjonen er definert som den båndbredden som minimererintegrert kvadratisk feil relativt til en eulerk løsning med høy oppløsning. Det er funnet at denoptimale båndbredden er synkende for økende antall partikler, og forholdet mellom båndbredde ogbpartikler er estimert ved kurvetilpasning til funksjonen ∆optimal ∼ 1/N . Parameteren b er estimerttil 0.133±0.070 gjennom hele integrasjonstiden T = 10 (som også er perioden til strømningsfeltet). Den optimale båndbredden viser en klar økning som funksjon av diffusjon, men viser tvetydighet som funksjon av tid, men med en økende trend gjennom simuleringstiden. Det diskuteres hvorvidt resultatet kan være påvirket av strømningsfeltets periodiske oppførsel. Det trekkes frem at fremtidig arbeid bør inkludere høyere oppløsning av den eulerske gridden og lavere diffusjon, for dermed å senke Péclet-tall per celle. Samtidig bør andre grensebetingelser vurderes, eventuelt også undersøke større simuleringområder for å hindre den sterke påvirkning fra grensene. In this thesis, we investigate two methods for numerical transport in the periodic double gyresystem presented in Shadden et al. (2005), by solving an advection-diffusion problem using bothan Eulerian and a Lagrangian formulation. The two-dimensional advection-diffusion equation issolved directly using the Crank-Nicolson finite difference method on a uniform grid, a so-calledEulerian fluid method. The diffusion coefficient is set to be constant in all systems, and to avoidoscillating solutions of the Crank-Nicolson scheme related to advection-dominated systems; we areforced to apply a relatively high diffusivity, with maximum cell Péclet numbers in the range P ecell ∈{0.16,3.24}. We present the Lagrangian particle method by deriving and solving the stochasticdifferential equation whose Fokker-Planck equation is equivalent to the advection-diffusion equationfor smooth velocity and diffusion functions. By first applying Monte-Carlo techniques to achieve adiscrete set of solutions, we estimate the probability density by applying a kernel density estimator.We demonstrate that the Lagrangian method produces the same results as the Eulerian fluidmethod for the double gyre system with constant diffusion. We define the optimal kernel bandwidthby minimizing the integrated squared error relative to a high-resolution Eulerian solution. Theoptimal bandwidth is found to decrease with the number of Lagrangian particles, and the relationshipbis estimated using the function form ∆optimal ∼ 1/N . The parameter b is estimated to be0.133 ± 0.070 throughout the integration time of T = 10, which also was the period of the time-varying velocity field. The optimal bandwidth is found to have a clear increasing trend with diffusivity, as expected. The optimal bandwidth is finally found to have an ambiguous relation relative to time, and it is discussed whether the behavior might be related to the periodicity of the flow field. It is suggested that future work ought to include higher resolution Eulerian grids, lower diffusion constants, and system boundaries that have a smaller effect on the solution.