Lagrangian methods and density estimation for advection-diffusion problems

Abstract

Denne oppgaven undersøker numerisk transport i to dimensjoner i et periodisk dobbel-vortex strømningsfelt som presentert i Shadden et al. (2005) med konstant diffusjon, gjennom å benytte både eulerske og lagrangske metoder. Adveksjon-diffusjonligningen er løst direkte gjennom å bruke den endelige differansemetoden Crank-Nicolson på en uniform grid, referert til som en eulersk fluid metode. Bruk av sentrale endelige differansemetoder for å løse adveksjonsdominerte systemer involverer ofte problemer relatert til oscillerende løsninger. For å unngå negative verdier i løsningen blir det benyttet høyere diffusjon for å senke det maksimale Péclet-tallet per gridcelle, som blir brukt i området {0.16,3.24}. Den lagranske partikkelmetoden er presentert gjennom å utlede en stokastisk differensialligning hvis Fokker-Planck ligning er lik adveksjon-diffusjonligningen dersom både diffusjonen og strømningsfeltet er glatt. Det er benyttet en Monte Carlo teknikk for å løse den stokastiske differensialligningen gjentatte ganger, hvor løsningene kan sees på som et stokastisk utvalg fra distribusjonen. Kernel density estimering (Kernel-tettheter) er benyttet for å estimere og konstruere fordelingen utvalget kommer fra. Partikkelmetoden gir likt resultat som den direkte eulerske metoden for adveksjon-diffusjonligningen i dobbel-vortex systemet med konstant diffusjon. En optimal båndbredde på kernel-funksjonen er definert som den båndbredden som minimerer integrert kvadratisk feil relativt til en eulerk løsning med høy oppløsning. Det er funnet at den optimale båndbredden er synkende for økende antall partikler, og forholdet mellom båndbredde og b partikler er estimert ved kurvetilpasning til funksjonen ∆optimal ∼ 1/N . Parameteren b er estimert til 0.133±0.070 gjennom hele integrasjonstiden T = 10 (som også er perioden til strømningsfeltet). Den optimale båndbredden viser en klar økning som funksjon av diffusjon, men viser tvetydighet som funksjon av tid, men med en økende trend gjennom simuleringstiden. Det diskuteres hvorvidt resultatet kan være påvirket av strømningsfeltets periodiske oppførsel. Det trekkes frem at fremtidig arbeid bør inkludere høyere oppløsning av den eulerske gridden og lavere diffusjon, for dermed å senke Péclet-tall per celle. Samtidig bør andre grensebetingelser vurderes, eventuelt også undersøke større simuleringområder for å hindre den sterke påvirkning fra grensene.

In this thesis, we investigate two methods for numerical transport in the periodic double gyre system presented in Shadden et al. (2005), by solving an advection-diffusion problem using both an Eulerian and a Lagrangian formulation. The two-dimensional advection-diffusion equation is solved directly using the Crank-Nicolson finite difference method on a uniform grid, a so-called Eulerian fluid method. The diffusion coefficient is set to be constant in all systems, and to avoid oscillating solutions of the Crank-Nicolson scheme related to advection-dominated systems; we are forced to apply a relatively high diffusivity, with maximum cell Péclet numbers in the range P ecell ∈ {0.16,3.24}. We present the Lagrangian particle method by deriving and solving the stochastic differential equation whose Fokker-Planck equation is equivalent to the advection-diffusion equation for smooth velocity and diffusion functions. By first applying Monte-Carlo techniques to achieve a discrete set of solutions, we estimate the probability density by applying a kernel density estimator. We demonstrate that the Lagrangian method produces the same results as the Eulerian fluid method for the double gyre system with constant diffusion. We define the optimal kernel bandwidth by minimizing the integrated squared error relative to a high-resolution Eulerian solution. The optimal bandwidth is found to decrease with the number of Lagrangian particles, and the relationship b is estimated using the function form ∆optimal ∼ 1/N . The parameter b is estimated to be 0.133 ± 0.070 throughout the integration time of T = 10, which also was the period of the time-varying velocity field. The optimal bandwidth is found to have a clear increasing trend with diffusivity, as expected. The optimal bandwidth is finally found to have an ambiguous relation relative to time, and it is discussed whether the behavior might be related to the periodicity of the flow field. It is suggested that future work ought to include higher resolution Eulerian grids, lower diffusion constants, and system boundaries that have a smaller effect on the solution.