Spontaneous Vortex Phase and Quantum Phase Diagram of Ferromagnetic Superconductors

Abstract

Motivert av oppdagelser for sameksistens av ferromagnetisme og superledning i uraniumbaserte strukturer, er den 2D utvidede enkeltbånd Hubbard-modellen brukt i den kvantemekaniske beskrivelsen av ferromagnetiske like-spinn p-bølge superledere, både med og uten et magnetfelt til stede. Bogoliubov-de Gennes-ligningene er løst selvkonsistent og den frie energien til ulike kvantefaser er sammenlignet for å beregne fasediagrammer. Den ferromagnetiske interaksjonen har blitt modellert med on-site Hubbard-U-ledd eller ved introduksjon av utvekslingsfeltet h. I første del av denne masteroppgaven er et bulk system uten magnetisk fluks betraktet. I tilfellet med nærmeste-nabo superledende interaksjon på V/t = −4.0 og med h/t = 0.5, begge i enheter av hopping-amplituden t, illustrerer fasediagrammet at den orbitale p-bølge-symmetrien px + ipy har høyere stabilitet enn px og px + py . Ved bruk av Hubbard-U-leddet med magnetisk interaksjonsstyrke U/t = 8.5 i stedet, finnes også områder hvor den frie energien til px eller px + py er lavest. I tillegg er den paramagnetiske fasen til stede både i den normalt-ledende og den superledende tilstanden. Fasediagrammene kan forklares i form av hva som er mest energetisk gunstig av å ha en høyere ferromagnetisk orden i den normalt-ledende tilstanden og kodensasjonsenergien til de superledende fasene. Dominansen til px + ipy kan forstås fra dets k-roms gapfunksjon uten nodale linjer.

I andre del er et magnetfelt innlemmet i modellen ved å utnytte Peierls-substitusjonen. For å inkludere skjermingseffekten til superstrømmen, er muligheten for å bestemme vektorpotensialet selvkonsistent gjennom Maxwell-ligningen, undersøkt. Til tross for testing av ulike løsningsstrategier, er det ingen tegn til konvergens for den selvkonsistente løsningen. Dette er muligens forårsaket av sammenbrudd for Peierls-formalismen på grunn av for store endringer i vektorpotensialet mellom gitterpunkter. Ved å betrakte ekstreme type-II-superledere med en stor Ginzburg-Landau parameter, kan superstrømmen bli ignorert. I dette tilfellet kommer spontaniteten til vorteksfasen utelukkende fra magnetfeltet produsert av den ferromagnetiske ordenen. For h/t = 0.1 og V/t = −2.5 viser fasediagrammet at spontane vorteksfaser med signifikante px og py superledende ordensparametere, er til stede. Ved økning av utvekslingsfeltet til h/t = 3.0, blir de beregnede fasediagrammene upålitelige. Igjen kan dette forklares ut ifra den begrensede gyldigheten til Peierls-substitusjonen. Den høye magnetiseringen gir for store endringer i vektorpotensialet.

Motivated by discoveries of the coexistence of ferromagnetism and superconductivity in uranium-based structures, the 2D extended single-band Hubbard model is used in the quantum mechanical description of ferromagnetic equal-spin p-wave superconductors, both in the presence and absence of a magnetic field. The Bogoliubov-de Gennes equations are solved self-consistently and the free energies of different quantum phases are compared in order to compute phase diagrams. The ferromagnetic interaction has been modeled by the on-site Hubbard U-term or by the introduction of the exchange field h. In the first part of this master’s thesis, a bulk system without any magnetic flux is considered. In the case of nearest-neighbour superconducting interaction strength of V/t = −4.0 and with h/t = 0.5, both in units of the hopping amplitude t, the phase diagram shows that the orbital p-wave symmetry px + ipy has higher stability than px and px + py . Using the Hubbard U-term with magnetic interaction strength of U/t = 8.5 instead, there are also smaller regions where the free energy of px or px + py is the lowest. In addition, the paramagnetic phase appears both in the normal conducting and the superconducting state. The phase diagrams can be explained in terms of what is most energetically favourable of having a higher ferromagnetic order in the normal conducting state and the condensation energy of the superconducting phases. The dominance of px + ipy can be understood from its k-space gap function without nodal lines.

In the second part, a magnetic field is incorporated into the model utilizing the Peierls substitution. To include the screening-effect of the supercurrent, the possibility of determining the vector potential self-consistently through the Maxwell equation is investigated. Despite testing of different solution strategies, there are no signs of convergence of the self-consistent solution. This is possibly caused by the breakdown of the Peierls formalism due to too large changes of the vector potential between sites in the lattice. By considering extreme type II superconductors with a large Ginzburg-Landau parameter, the supercurrent can be ignored. In this case, the spontaneity of the vortex phase comes solely from the magnetic field produced by the ferromagnetic order. For h/t = 0.1 and V/t = −2.5, the phase diagram shows the presence of spontaneous vortex phases with significant px and py superconducting order parameters. Increasing the exchange field to h/t = 3.0, computed phase diagrams become unreliable. Again, this can be explained by the limited validity of the Peierls substitution. The high magnetization gives too large changes of the vector potential.