Geometric Aspects of Quantum Entanglement

Abstract

Summary: Entanglement is a strange feature contained in the quantum mechanical framework, first observed theoretically by Erwin Schrödinger and Albert Einstein. An inherent attribute of entanglement is non-locality, and in the continuation of this, several non-reductionist features, which are conceptually challenging and philosophically interesting.

A considerable growth of the interest in quantum entanglement has occurred since the early 1990s, and much of the reason for this is that the tools of quantum optics and modern instrumentation have made it possible to measure and manipulate entangled quantum systems. Today, several applications of entanglement exist, including quantum computers and several areas in quantum communications.

A quantum state is either separable or entangled, it cannot be none or both. A separable state do not exhibit the non-local features found in entangled states, and are in this sense comparable to classic states. An important issue here is the separability problem, which is the problem of determining whether a given state is entangled or not.

We study these quantum states as Hermitian matrices with positive eigenvalues in convex spaces. The PPT criterion is based on the partial transposition operation, which essentially transposes one of the two subsystems in the quantum system. For some states the result is another quantum (positive) state, and these are PPT (Positive Partial Transpose) states, while others that gain negative eigenvalues are called NPT states.

For systems of dimensions 2 × 2 and 2 × 3, the PPT states are identical to the separable states, and the NPT states are identical to the entangled states, so the PPT criterion is always conclusive. But for larger dimensions, such as for instance the 3 × 3 system, there always exist PPT states that are entangled, so for this case the PPT criterion can only be used in a contrapositive way. Since entangled PPT states in this sense seem to have great significance, their characteristics are worth studying. As mentioned, the PPT criterion uses the transposition map on one of the two subsystems of a composite quantum system. Transposition is an example of a positive map, in that it maps all quantum states into quantum states. It is possible to use positive maps to formulate a much more general criterion for the separability problem.There is a link (an isomorphism) between positive maps and a subset of Hermitian operators called entanglement witnesses.

The so-called Horodecki criterion states that a quantum state is separable if and only if the expectation value of all entanglement witnesses in the state are non-negative. If the expectation value of one (or possibly several) entanglement witnesses in a given quantum state is negative, then the state is always entangled. This criterion is both necessary and sufficient, but demands that we can characterize the entire set of entanglement witnesses.

The approach in this thesis is through geometry. Of fundamental importance is the convex nature of the sets in question. The knowledge and understanding of the extremal points in these sets is very relevant, since they describe the sets completely. Undertaking completely analytic studies of the geometry at hand is in general very hard, especially as the dimension of the systems grow. The development and use of numerical tools is therefore essential.

Sammendrag:

Sammenfiltring er en merkelig egenskap som finnes i kvantemekanikken, og ble først observert teoretisk av Erwin Schrödinger og Albert Einstein. Et iboende særtrekk ved sammenfiltring er ikke-lokalitet, og i forlengelsen av dette, flere ikke-reduksjonistiske egenskaper, som er både begrepsmessig utfordrende og filosofisk interessante.

En betydelig vekst i interessen for kvantemekanisk sammenfiltring har foregått siden begynnelsen på 90-tallet, og mye av grunnen er at verktøyene gitt av kvanteoptikken og moderne instrumentering har gjort det mulig å måle på og manipulere sammenfiltrede kvantesystemer. I dag finnes flere anvendelser av kvantemekanisk sammenfiltring, inkludert kvantedatamaskiner og innenfor flere områder i kvantekommunikasjon.

En kvantetilstand er enten separabel eller sammenfiltret, den kan ikke være ingen av delene eller begge. En separabel tilstand fremviser ingen av de ikke-lokale effektene man finner hos sammenfiltrede tilstander, og er dermed i denne forstand sammenlignbare med klassiske tilstander. Et viktig spørsmål her er det såkalte separabilitetsproblemet, som er problemet med å bestemme hvorvidt en kvantetilstand er sammenfiltret eller ikke.

Vi studerer disse tilstandene som Hermitske matriser med positive egenverdier i konvekse sett. Det såkalte PPT-kriteriet er basert på en operasjon som kalles deltransponering, som essensielt transponerer det ene av de to undersystemene. For noen tilstander er resultatet en ny (positiv) kvantetilstand, og disse kalles PPT-tilstander (Positive Partial Transpose). Andre tilstander får negative egenverdier under denne operasjonen og kalles derfor NPT-tilstander. For systemer av dimensjon 2 × 2 og 2 × 3, er PPT-tilstandene identisk med de separable, og NPT-tilstandene er identisk med de sammenfiltrede, slik at PPT-kriteriet er alltid konklusivt. Men for høyere dimensjoner, f.eks 3 × 3, vil det alltid finnes sammenfiltrede PPT-tilstander. Så for disse tilfellene vil PPT-kriteriet bare kunne brukes på en kontrapositiv måte. Siden disse sammenfiltrede PPT-tilstandene har stor betydning, er deres karakteristiske trekk verdt å studere.

Som nevnt bruker PPT-kriteriet transposisjonsavbildningen på et av de to undersystemene. Transposisjon er et eksempel på en positiv avbildning, det vil si at den alltid avbilder en kvantetilstand over i en kvantetilstand. Det er mulig å bruke positive avbildninger til å formulere et mye mer generelt kriterium for separabilitetsproblemet. Det finnes en link (isomorfi) mellom positive avbildninger og en undermengde av Hermitske operatorer som kalles sammenfiltringvitner.

Det såkalte Horodecki-kriteriet sier at en kvantetilstand er separabel hvis og bare hvis forventningsverdien av alle sammenfiltringvitner i tilstanden er ikke-negative. Hvis forventningsverdien av en (eller muligens flere) sammenfiltringvitner i en gitt tilstand er negativ, så er tilstanden sammenfiltret. Dette kriteriet er både nødvendig og tilstrekkelig, men forutsetter at vi kan karakterisere hele settet av sammenfiltringsvitner.

Tilnærmingen i denne avhandlingen er gjennom geometri. Av fundamental betydning er den konvekse strukturen i de aktuelle mengdene. Kunnskap og forståelse av ekstremalpunktene i disse mengdene er svært relevant, siden disse gir en fullstendig beskrivelse av mengdene. Å gjennomføre fullstendig analytiske studier av denne geometrien er svært vanskelig, spesielt for høyere dimensjoner. Utviklingen av numeriske verktøy og metoder er derfor essensielt.