Fingerprinting of quantum ground state manifolds

Abstract

Utledning av egenskapene til grunntilstander kan være svært vanskelig. I denne oppgaven undersøker vi grunntilstandene til den antiferromagnetiske spin- 1/2 modellen (J-J ′ ) numerisk, og Toric Code (TC) modellen og Doubled Semion (DS) modellen analytisk. Vi benytter gruppe- og representasjonsteori for å skape et "fingeravtrykk" av oppførselen til disse forskjellige systemene. For J-J ′ modellen brukes representasjonsteori til å visualisere grunntilstandene, og gruppeteoriske metoder anvendes for å løse systemet mer effektivt. For TC- og DS-modellene gir metoden en gruppeteoretisk forklaring på degenerasjonene av grunntilstandene, som viser at de begge transformeres som en firedimensjonal irredusibel representasjon av et sett med symmetrioperatorer isomorfe med "The inner holomorph of D8" og "The unitriangular matrix group: UT(3, Z4)," henholdsvis. I tillegg analyserer vi 1D-versjoner av disse modellene, og forklarer den tofoldige degenerasjonen av grunntilstandene på en lignende gruppeteoretisk måte.

Determining the properties of ground states can be highly nontrivial. In this thesis, we investigate the ground states of the antiferromagnetic spin- 1/2 chain (J-J ′ ) model numerically, and the Toric Code (TC) model and Doubled Semion (DS) model analytically. We employ group and representation theory to create a "fingerprint" of the behavior of these different systems. For the J-J ′ model, representation theory is used to visualize the behavior of the ground states, and group theoretical methods are applied to solve the system more efficiently. In the case of the TC and DS models, the method provides a group theoretical explanation for the degeneracies of the ground states, showing that they both transform like a four-dimensional irreducible representation of a set of symmetry operators isomorphic to "The inner holomorph of D8" and "The unitriangular matrix group: UT(3, Z4)," respectively. Additionally, we analyze the 1D versions of these models, explaining the twofold degeneracy of their ground states in a similar group theoretical manner.