| dc.description.abstract | Topologi for faste stoffer er et eksotisk felt som kan få viktige implikasjoner for kvanteberegninger.
Måten nåværende kvantedatamaskiner implementeres fysisk lider av korte koherenstider og medførende høye feilrater. Topologiske faser er naturlig ikke-lokale og kan slik gi en iboende beskyttelse mot støy. Den grunnleggende funksjonen til en topologisk kvantebit er å flette Majorana bundne tilstander (MBTer). Disse kjennetegnes av en ikke-triviell statistikk ved ombytting.
Vi tar her en helhetlig tilnærming til topologiske kvanteberegninger ved å starte med en gjennomgang av topologi i kontekst av faste stoffer. Deretter viser vi hvordan en topologisk kvantebit som fungerer ved fletting av MBTer kan realisere standard kvanteporter. Vi oppsummerer utledningen av Bernevig-Hughes-Zhang-modellen for spin-Hall isolatorer, og kombinerer modellen med superledning og ferromagnetisme for å beskrive en annenordens topologisk superleder. Denne modellen danner utgangspunktet for både analytiske og numeriske beregninger.
Zhang, Calzona og Trauzettel (Phys. Rev. B 102.10 (2020)) viste at triangulære domener av en annenordens topologisk fase konstruert fra en spin-Hall isolator kombinert med superledning og ferromagnetisme vil ha MBTer bundet til to av hjørnene i trekantene. Når det kjemiske potensialet endres, vil en MBT bevege seg frem og tilbake langs diagonalen på trekanten. Ved å sette sammen flere triangulære domener til en større geometri er det dermed mulig å flytte MBTer ved å kun endre det elektriske potensialet.
Når diagonalen til trekantene krummes innover, øker størrelsen på det topologiske båndgapet som betyr at tilstanden er mer robust. Ved å løse en gitter-``tight-binding’’-modell numerisk undersøker vi robustheten av både de triangulære og sammensatte domenene ved å registrere størrelsen på det topologiske gapet for ulike konfigurasjoner. Vi undersøker effekten av økende krumning systematisk, både når diagonalen til trekantene er glatt og når diagonalen er deformert av tilfeldig uorden.
Vi viser at en moderat krumning av diagonalen i trekantene forstørrer det topologiske gapet, mens større krumninger gir betydelige endelig-størrelse-effekter og stor sannsynlighet for at gapet lukkes. Gjennom simuleringer av 1500 gitre med tilfeldig generert kant-uorden viser vi at svak kant-uorden kan øke det topologiske gapet. I en andel av gitrene lukkes gapet på grunn av uorden. I de resterende gitrene er det derimot stor sannsynlighet for at gapet forstørres. Modellen har dermed et topologisk gap som forsterkes av uorden hvis konfigurasjonene hvor gapet lukkes kan isoleres og unngås ved å endre modellparametre og geometri.
I den sammensatte geometrien kontrolleres det kjemiske potensialet separat for hvert av seks triangulære domener. Vi overfører krumningen av diagonalene i trekantene til kantene i den sammensatte geometrien. Fra dette viser vi at fordelaktige egenskaper fra de isolerte trekantgitrene ikke kan overføres direkte til den større geometrien. Dette skyldes den geometriske avhengigheten til annenordens topologiske superledere. Justeringer av geometri og modellparametre kan bidra til å overføre de fordelaktige egenskapene til et større nettverk.
Gjennom en naiv tilnærming viser vi avslutningsvis hvordan en Hadamard-port kan implementeres i den sammensatte geometrien ved å endre potensialet i ulike domener trinnvis. Vi bruker deretter svakheter i denne tilnærmingen til å demonstrere viktigheten av å studere overgangen mellom ulike konfigurasjoner av potensialet i detalj. For noen overganger observerer vi utilsiktet nukleering og annihilering, samt skjulte ombyttinger av MBTer som ikke vises når man kun betrakter stegvise endringer i potensialet. Dersom den omtalte geometrien brukes til å implementere en kvantebit kan begge disse fenomenene være skadelige for operasjonen av kvantebiten og bør derfor unngås. | |
| dc.description.abstract | Topology in condensed matter is an exotic field that can have important implications for quantum computing. The current implementations of quantum computers suffer from short coherence times and high error rates. Topological phases are inherently non-local and can provide intrinsic protection against noise. At the core of the topological qubit is the braiding of Majorana bound states (MBSs), characterized by non-trivial exchange statistics.
We take a wholesome approach to topological quantum computing and start with a review of topology in condensed matter. Then, we show how the topological qubit that operates by braiding MBSs can realize standard quantum gates. We summarize the derivation of the Bernevig-Hughes-Zhang model for spin-Hall insulators, to which we later add superconductivity and ferromagnetism to serve as a model for a second-order topological superconductor, which we use for analytical and numerical calculations.
It was shown by Zhang, Calzona, and Trauzettel (Phys. Rev. B 102.10 (2020)) that triangular domains of a second-order topological phase constructed from a spin Hall insulator and a superconductor by applying a magnetic field will have MBSs bound to two of the triangle's corners. Tuning the chemical potential within a limited range moves one of the MBSs back and forth along the triangle's diagonal. Assembling the triangles into a larger composite geometry, it is possible to move the MBSs purely by electrical control.
When the triangular geometry is made concave on the diagonal, the topological gap increases, which means that the device becomes more robust. Using the numerical solution of a lattice tight-binding model, we examine the robustness of the triangular and composite geometries by recording the topological gap for various configurations. We systematically consider the effect of increasing curvature with and without random edge disorder on the triangles' diagonals.
We show that a moderate amount of concavity enhances the topological gap, while the larger concavities reveal significant finite-size effects and a significant probability that the gap closes. Simulating 1500 lattices with randomly generated edge disorder, we show that weak edge disorder can enhance the topological gap. For a subset of the generated disorder configurations, the gap will close. However, in the remaining samples, the gap magnitude is likely to increase significantly. Thus, the model has a disorder-enhanced topological gap if the subset of configurations where the gap closes can be isolated and avoided by tuning the model parameters and the geometry.
In the composite geometry, the chemical potentials are controlled separately on each of six constituent triangles. We transfer the concave edges to the composite geometry and demonstrate that the favorable characteristics from the isolated triangles are not directly transferable to the larger geometry due to the geometrical dependence of the second-order topological superconductor. Tuning the spatial dependence of the model parameters can provide a future path to transfer favorable characteristics from the triangle to larger networks.
Finally, we have taken a naive approach to implementing a Hadamard gate by stepwise changing the potentials in the composite geometry. We use weakness in this approach to demonstrate the importance of examining the transition between adjacent potential configurations in detail. Some transitions contain the nucleation and annihilation of MBSs as well as hidden exchanges of MBSs during the process, which are not shown when only coarse steps in the potentials are considered. When the composite geometry is used to implement a qubit, both phenomena can be detrimental to the operation of the device and should be avoided. | |
