Multi-Orbital Tight-Binding Models for Spin-Orbit Coupled Phosphorene and Mg2X (X=Si, Ge, Sn, Pb) Compounds Subject to Strain

Abstract

Tight-binding (TB) modeller for spinn-bane koblet ett-lags svart fosfor og Mg2X forbindelser (X=Si, Ge, Sn, Pb) utvikles og tilpasses den elektroniske båndstrukturen forutsett av density-functional theory (DFT). Målet er å anskaffe praktiske modeller som nøyaktig reproduserer sentrale fysiske egenskaper. Modellene bør tillate studiet av de underliggende fysiske mekanismer samt respons til ekstern deformasjon og spinn-bane kobling. Slike modeller er spesielt velegnet for studium av elektriske og optiske egenskaper, men de krever ofte mange ukjente parametere for interaksjonsstyrker. For å finne disse blir en massivt parallell adaptiv simulert annealing algoritme tatt i bruk sammen med DFT-data. TB-modeller med optimerte parametere reproduserte DFT båndstrukturen svært godt for de antifluoritt-strukturerte halvlederforbindelsene Mg2Si, Mg2Ge, Mg2Sn og Mg2Pb. En {Mg-s, X-p} orbital basis var tilstrekkelig for god beskrivelse av valenstilstandene, men ledningsbåndet krevde videre {Mg-p, X-ds∗} tilstander for å oppnå høy nøyaktighet. Modellen avslørte at valenselektrone til Mg atomer i stor grad overføres til X atomer, men dette svekkes (styrkes) under strekkbelastning (trykkbelastning), som også delvis lukker (åpner) båndgapet ved Γ-punktet. σpp interaksjoner i X ble sterkt svekket med økt gitteravstand på grunn av redusert overlapp av bølgefunksjoner på nærliggende gitterplasser, mens Mg-σss interaksjoner økte når forbindelsene nærmet seg metallisk oppførsel under strekkbelastning. Å tilsette atomisk spinn-bane interaksjon i TB-modellen ga identisk resultat som å ta relativistiske effekter i betraktning under DFT beregninger, i form av at et material og deformasjons-avhengig gap åpnet seg mellom de øverste valenstilstandene ved Γ-punktet. I ett-lags svart fosfor (fosforén) var en p-orbital basis effektiv i å reprodusere sentrale symmetrier i båndstrukturen, båndgapet og kurvaturen ved Γ-punktet. Tre forenklingsmetoder utforskes for å produsere en effektiv Hamilton-operator. En Γ-punkt rekkeutvikling introduserte lite feil for |k| ≲ 1, hvor k er bevegelsesmengde normalisert til gittervektene. Nedfelling til rommet spent av pz-orbitaler var passende rundt Fermi-nivået ved Γ-punktet. En reduksjon i størrelse av enhetscellen var nyttig for sfærisk-harmoniske orbitaler, men ekskluderte viktige interaksjoner i en p-orbital formulering. Den resulterende effektive Hamilton-operatoren er sammenfallende med enkle modeller brukt i tidligere litteratur, som forsvarer bruken av disse på fysisk grunnlag. Til slutt, å legge til enten et feltkvantisert Rashba uttrykk, eller atomisk spinn-bane kopling og et eksternt potensial som bryter gitterinversjonssymmetri (for eksempel et substrat), ga en liknende spinnsplitting ∆R(k)≈2αr |k| av båndstrukturen. De to modellene kunne relateres gjennom αr ≈ 0.195/eV ζ λs , hvor αr er Rashba parameteren, λs er atomisk spinnbanekoblingsstyrke og ζ er styrken av det eksterne potensialet.

Multi-orbital tight-binding (TB) models for spin-orbit coupled (SOC) single-layer black phosphorous (phosphorene) and Mg2X compounds (X=Si, Ge, Sn, Pb) are developed and optimized to fit electronic band structure predicted by density-functional theory (DFT). The aim is to obtain effective models that accurately reproduce key physical features of the band structure. The models should allow for studying the physical mechanisms of atomic interactions as well as the response of the material to external strain and spin-orbit coupling. Such models are especially suitable for studying electrical and optical properties of solids. However, they often require several unknown interaction strength parameters. To determine the unknown parameters, a massively parallelized adaptive simulated annealing algorithm is used. With optimized parameters, the TB-models reproduced DFT band structure remarkably well for the antifluorite-structured semiconductor compounds Mg2Si, Mg2Ge, Mg2Sn, and Mg2Pb. An {Mg-s, X-p} orbital basis was sufficient for describing valence states, but the conduction band required in addition {Mg-p, X-ds∗ } orbitals to achieve high accuracy. The model revealed that the valence electrons of Mg atoms are partially transferred to X atoms. However, the orbital mixing is weakened (strengthened) under tensile (compressive) strain, partially closing (opening) the direct bandgap at the Γ-point. σpp interactions of X diminished greatly with increased lattice spacing due to smaller overlap of wavefunctions on neighboring lattice sites, but Mg-σss interactions increased as the compounds approached metallic behavior under tensile strain. Adding atomic (SOC) to the TB-model yielded identical results to including relativistic effects in DFT calculations, with a material- and strain-dependent gap opening between the top valence states at the Γ-point. In phosphorene, a p-orbital basis was adequate for reproducing key symmetries of the band structure, the bandgap, and the curvature around the Γ-point. Three approximations are explored to produce a simplified, effective Hamiltonian. A Γ-point expansion introduced little error for |k| ≲ 1, where k is the momentum normalized to the lattice vectors. Downfolding onto the space spanned by pz-orbitals was highly appropriate around the Fermi-level and Γ-point. Approximating the unit cell was useful in a basis of spherically symmetric orbitals but excluded important interactions in a p-orbital formulation. The resulting effective Hamiltonian is consistent with the simple model found in previous literature, justifying the simple model from physical grounds. Finally, adding either a second quantized Rashba term or atomic spin-orbit coupling and an external lattice-inversion-symmetry breaking potential (representing e.g. a substrate) gave a similar spin-splitting ∆R(k)≈2αr |k| of the band structure. The two models were related through αr ≈ 0.195/eV ζ λs , where αr is the Rashba parameter, λs the atomic SOC-strength and ζ the strength of the external potential.