Phonon Coupled Luttinger Liquids in a Haldane Armchair Nanoribbon

Abstract

Det har nylig blitt foreslått en metode for å indirekte detektere topologi i en spinnbølgemodell koblet til fononer. Motivert av dette undersøker jeg én-partikkel Green-funksjonen til topologisk beskyttet fermionske kanttilstander koblet til kvantiserte gittervibrasjoner. Systemet er en Haldane-Chern-isolator på et grafén nanobånd med "lenestol"-kantgeometri. Jeg viser eksplisitt at denne modellen gir lokaliserte kanttilstander som kan bli beskrevet av en éndimensjonal fermionteori i et mangepartikkelsystem. Elektron-fonon-koblingen blir funnet ved å projisere fonon-egentilstander på kantene gjennom en nærmeste-nabo-tilnærming. Ved å bosonisere fermionfeltene nære Ferminivået kan Hamilton-operatoren diagonaliseres nøyaktig. Elektrontetthetsbølgene kan da representeres som en kombinasjon av en ortogonal projeksjon og en symplektisk Bogoliubovtransformasjon av kvanteharmoniske oscillatorer. Jeg gjenutleder kjente resultater, og fortsetter ved å generalisere metoden til å kunne inkorporere tetthet-tetthet-interaksjoner, som reduserer elektron-fonon-koblingen i det repulsive tilfellet. Inkluderingen av spinn-frihetsgrad renormerer elektron-fonon-koblingen med en konstant faktor. Gjennom forenklinger finner jeg flere lukkede uttrykk for Green-funksjonen i nærvær av én akustisk fonongren. På nanobåndet finner jeg den relative korreksjonen til Green-funksjonen ved numeriske beregninger. I fravær av interaksjoner mellom tetthetsbølger finner jeg at den karakteristiske singulariteten i korrelasjonsfunksjonen som representerer rettlinjet bevegelse blir redusert når en skyfaktor av partikkel-hull-eksitasjoner som henger etter tetthetsbølgene blir synlig. Med en Coulomb-type interaksjon tilstede vil tetthetsbølgene oscillere med en karakteristisk plasmafrekvens, og videre eksitasjoner i denne plasmaen blir massive. Konsekvensen av en plasmafrekvens ulik null er at én-elektron Green-funksjonen blir modulert med en fremskreden skyfaktor.

Motivated by a recently proposed method of probing topology in a spin wave model coupled to phonons, I study the single particle Green's function of topologically protected fermion states coupled to quantized lattice vibrations. The system under investigation is a Haldane Chern insulator on a graphene nanoribbon with armchair edge geometry. I explicitly demonstrate that this model host highly localized edge states which can be described by a one-dimensional fermionic theory of a many-body system. The electron-phonon coupling is found by projecting phonon eigenstates onto the edges using a nearest neighbor approximation. By bosonization of the fermionic fields close to the Fermi level, the Hamiltonian can be diagonalized in an exact manner. The representation of fermionic density-waves is found to be a combination of an orthogonal projection and a symplectic Bogoliubov-transform of uncoupled quantum harmonic oscillators. I first rederive earlier results, then proceed to generalize the method to allow for a density-density interaction, which suppresses the electron phonon coupling strength if repulsive. The inclusion of spin degrees of freedom renormalizes the electron phonon coupling by a constant factor. I derive several closed form approximations of the Green's function in the presence of a single acoustic phonon branch. On the graphene nanoribbon, I numerically calculate the relative corrections to the real space correlation function. In the absence of density-density interactions, the characteristic singularity representing linear motion is reduced by the onset of a particle-hole cloud lagging behind the itinerant electron density waves. In the presence of a Coulomb-like interaction, the long distance density waves oscillate with a finite plasma frequency, and further excitations acquire a mass. The consequence of a nonzero plasma frequency is that the single electron Green's function is modulated with a precocious particle-hole cloud.