Explorations of Coherent State Path Integral Formulations for Spin Systems Using a Projection Operator Implementation of Occupation Number Constraints

Abstract

I denne oppgaven utforsker vi hvordan en projeksjonsoperatormetode kan brukes til å implementere begrensninger i konsrtuksjonen av vegintegraler over koherente tilstander for spinnsystemer representert av Schwinger boson- eller Abrikosov fermionoperatorer. Spesifikt bruker vi denne konstruksjonen til å regne ut en-spinnpartisjonsfunksjonen til et system med null energi og Zeeman energi for et generelt spinn-$S$ system representert i Schwinger bosonoperatorer, og en-spinnpartisjonsfunksjonen til et to-nivåsystem for et system representert av Abrikosov fermionoperatorer. Videre bruker vi projeksjonsoperatoren til å mer rigorøst konstruere vegintegralet til Bruckmann og Urbina, og vi bruker dette rammeverket til å regne ut partisjonsfunksjonene til ett spinn med en Hamiltonian proporsjonal til $\hat{S}_x$ og en ring av Ising spinn i et longitudinalt felt eksakt. Vi bruker også rammeverket til Bruckmann og Urbina til å gjøre en høytemperatur utvikling av partisjonsfunksjonen, og vi gjør denne utviklingen for et system av to partikkler med Heisenberg interaksjon, og en ring av Ising spinn i et transversalt felt. Til slutt utleder vi reell-tid-propagatoren til et spinn, og verifiserer at selv for en Hamiltonian lik null plukker virkningen opp en Berryfase, og at for et spinn koblet til et eksternt felt finner vi i grensen $S\rightarrow\infty$ virkningen til et klassisk spinn i et magnetfelt.

In this thesis, we explore how a projection operator approach to constraint implementation can be used when constructing coherent state path integrals of spin systems represented in terms of Schwinger boson or Abrikosov fermion operators. In particular, we use this construction to calculate the single spin partition function for the zero energy and Zeeman Hamiltonians for a general spin-$S$ system represented by Schwinger boson operators, and the single spin partition function for a two-level system in two different ways for a system represented by Abrikosov fermion operators. Furthermore, we use the projection operator to more rigorously construct the path integral of Bruckmann and Urbina for a spin system, and use this framework to exactly calculate the partition function for a single spin with a Hamiltonian proportional to $\hat{S}_x$, and a ring of Ising spins with a longitudinal field. We also use the framework of Bruckmann and Urbina to do a high temperature expansion for partition functions, and in particular we do the expansion for a system of two spins with a Heisenberg interaction and a ring of Ising spins in a transversal field. Finally, we derive a real time propagator within the framework of Bruckmann and Urbina, and verify that even for a Hamiltonian equal to zero the action picks up a Berry phase, and that for a spin coupled to an external field in the limit of $S\rightarrow\infty$, we recover the action of a classical spin in a magnetic field.