Thermodynamics of the nonlinear sigma model

Abstract

I denne oppgava studerer vi termodynamikken til den ikke-lineære sigmamodellen i to dimensjoner, en leketøysmodell for den sterke vekselvirkningen. Vi presenterer grunnleggende termisk kvantefeltteori og utleder modellen ved å fryse ut en av frihetsgradene i den O(N)-symmetriske lineære sigmamodellen. Dimensjonell regularisering, en metode for å regularisere divergente integraler, drøftes før den anvendes til å renormalisere den ikke-lineære sigmamodellen til første orden i koblingskonstanten. Vi bruker dette til å regne ut hvordan koblinga løper, og bekrefter at teorien har asymptotisk frihet. Videre regner vi ut vakuumintegraler som oppstår fra solnedgangdiagrammet og basketballdiagrammet ved å bruke en kombinasjon av dimensjonell regularisering og numerikk. Ved å bruke perturbasjonsteori regner vi ut den renormaliserte frie energien til første orden i koblingskonstanten. Deretter lar vi antall felt gå mot uendelig i store-N approksimasjonen, og regner ut den renormaliserte frie energien til andre orden i den omskalerte koblingskonstanten. Ved lave temperaturer har både første- og andreordenskorreksjonene god oppførsel. Ved høye temperaturer går vi mot den masseløse grensa, der førsteordenskorreksjonen er en endelig konstant, og andreordenskorreksjonen divergerer. Den infrarødt divergente oppførselen til andreordenskorreksjonen forverres ved sterkere vekselvirkning.

In this thesis, we study the thermodynamics of the two-dimensional nonlinear sigma model, a toy model for the strong interaction. After presenting the fundamentals of thermal quantum field theory and a derivation of the nonlinear sigma model, we discuss the method of dimensional regularization, and use it to renormalize the model to one-loop order. We use this to calculate the running of the coupling, and confirm that the theory is asymptotically free. Next, we calculate vacuum integrals that arise from the sunset diagram and the basketball diagram, using a combination of dimensional regularization and numerics. Using perturbation theory, we calculate the renormalized free energy density to two-loop order. Further, we calculate the renormalized free energy density to three-loop order in the large-N approximation, where we let the number of fields go to infinity. Both the two-loop and three-loop corrections are well-behaved at low temperatures. At high temperatures, as the massless limit is approached, the two-loop contribution is a finite constant, and the three-loop contribution diverges. The infrared divergent behavior of the three-loop free energy density gets worse for stronger coupling.