Cosmic Ray Diffusion in the Hamiltonian Guiding Center Approximation
Abstract
Forå konstruere en metode tilå teste nøyaktigheten til den Hamiltonske føringssen-terapproksimasjonen undersøkes diffusjonskoeffisientene av kosmiske stråler propa-gert i et turbulent magnetisk felt. Målet er å reprodusere tidligere resultater for åforsikre at diffusjonssimuleringene kan benyttes til å sammenligne den Hamiltons-ke føringssenterapproksimasjonen opp mot det å løse Lorentz-ligningen direkte.Turbulensen simuleres som en hydrodynamisk turbulens som følger Kolmogorov’senergispektrum. For å simulere propagasjonen av kosmisk stråling ble en Runge-Kutta-integrator implementert for å løse Lorentz-ligningen. Isotropien av algorit-men som genererer det turbulente magnetfeltet verifiseres, og isotropien i feltetbevises gitt at korrekt sannsynlighetsfordeling for de tilfeldige fasene velges. Vi-dere vises den kvalitative atferden av diffsjonskoeffisientene å være i samsvar medtidligere resultater. Etter overgangen til det isotropiske regime finnes faktorend 3 /d 1 til å være tilnærmet konstant ved d 3 /d 1 ∼ 10, som viser en signifikant aniso-tropisk atferd. Sammenligning av de gjennomsnittlige diffusjonskoeffisientene frasimuleringene opp mot de teoretiske verdiene viser at forskjellen er innen en faktormellom 1.21 og 2.33. Diffusjonskoeffisienten vises å følge D(E) ∝ β som forventet,med β = 1/3 og β = 2 for the diffusive og det ballistiske regime respektivt. Viderevises det at overgangen mellom de to regimene starter ved høyere energi for desimulerte diffusjonskoeffisientene enn for de teoretiske koeffisientene.Hamiltonsk føringssenterteori anvendes på propageringen av kosmisk strålinggjennom forskjellige magnetiske felt, inklusive det uniforme feltet, spiralfelt medkonstant og varierende feltstyrke, samt et uniformt felt i superposisjon med etturbulent felt. Målet er å teste under hvilke forhold føringssenterteorien kan brukesi stedet for å løse Lorentz-ligningen direkte, og fortsatt gi ekvivalente resultater.Videre testes det om føringssenterteorien øker effektiviteten i disse simuleringene.Det vises at føringssenterteorien reproduserer en tilsvarende bane til den pro-dusert av den eksakte løsningen, med unntak av drifteffekter påført av curlen tilmagnetfeltet, samt en akselerasjonseffekt påført av magnetfeltets gradient. Dissemanglende effektene vises å komme av en feil i programmeringen av teorien. Resul-tatene peker mot at Hamiltonsk føringssenterteori, når den implementeres korrekt,vil simulere banene til kosmisk stråling gjennom det Galaktiske magnetfeltet medhøy nøyaktighet. Simuleringene antyder også at føringssenterteorien vil være mereffektiv enn å løse Lorentz-ligningen direkte.Siden implementasjonen av føringssenterteorien ikke ble ferdigstilt inne tids-rammen av dette prosjektet, var det ikke mulig å implementere den i beregningeneav diffusjonen av kosmisk stråling i det galaktiske magnetiske feltet. To provide a method of testing the accuracy of the Hamiltonian Guiding CenterApproximation, the diffusion coefficients of cosmic rays propagating in a purelyturbulent magnetic field is investigated. The goal is to reproduce earlier results toassure the diffusion simulations can be used to compare the Hamiltonian guidingcenter theory to the direct solving of the Lorentz-equation. The turbulence is sim-ulated as a hydrodynamic turbulence following the Kolmogorov power spectrum.To simulate the cosmic ray propagation a step-size controlled Runge-Kutta algo-rithm is implemented to solve the Lorentz-equation. The isotropy of the algorithmgenerating the turbulent magnetic field is verified, and isotropy is proven given thecorrect choice of probability distribution for the random phases. Furthermore, thequalitative behavior of the diffusion coefficients is shown to be in accordance withprevious results in both the isotropic and anisotropic regimes. After transitioningto the isotropic regime the factor d 3 /d 1 is found to be constant at d 3 /d 1 ∼ 10,which shows a significant amount of anisotropic behavior. Comparing the am-plitude of the average diffusion coefficients from the simulations with theoreticalcoefficients show that they are within a factor of 1.21 and 2.33. The scaling ofthe diffusion coefficient is found to follow the expected D(E) ∝ β when β = 1/3and β = 2 for the diffusive and ballistic regimes respectively. The transition isshown to begin at a slightly higher energy for the simulated diffusion than for thetheoretical diffusion.Hamiltonian guiding center theory is applied to the propagation of cosmic raysthrough different magnetic field models, including the uniform field, spiral fieldswith constant and non-constant field strengths, and a uniform field in superpositionwith a turbulent field. The aim is to test under which conditions the Hamiltonianguiding center theory can replace the direct solution of the Lorentz-equation andstill provide equal results. Furthermore it is tested whether the guiding centertheory is able to increase the efficiency of these simulations.It is shown that guiding center theory accurately reproduces the equivalenttrajectory to that of the direct solution of the Lorentz-equation, exempt of a driftvelocity caused by the curl of the magnetic field and an acceleration caused by thegradient of the magnetic field strength. The exemption of these effects are shown tobe missing due to errors in the implementation. The presented results suggest thatthe Hamiltonian guiding center theory, when implemented correctly, will be ableto accurately simulate the trajectories of cosmic rays through a Galactic magneticfield. The simulations using the guiding center theory also suggest the theory willbe more efficient than directly solving the Lorentz-equation.As the guiding center theory implementation was not completed within thetime frame of this project, it was not possible to implement it in the simulation ofdiffusion of cosmic rays in the Galactic magnetic field.