On Machin-like Formula of Arbitrary Lehmer Measure

Abstract

I denne oppgaven presenterer vi to resultater angående Machin-lignende formler. Først viser vi rigørt et utsagn av Lehmer om at det eksisterer en Machin-lignende formel med vilkårlig mål ved å vise at for et hvert heltall $b\geq2$ finnes det en Machin-lignende formel med Lehmermål mindre enn $1/\log_{10} b + 2/\log_{10} (2b-1)$. Denne prosessen innebærer å rasjonelt approksimere $\pi/4$ gjentatte ganger ved bruk av inverscotangensledd med heltallsargumenter, og blir utledet i Kapittel To. For å motivere dette, introduserer vi historien til Machin-lignende formler og definerer deres Lehmermål i Kapittel En. Videre utleder vi prosessen fra Todd (1949) for å bestemme når et heltalls inverscotangensledd kan dekomponeres til mindre heltalls inverscotangensledd.

I det tredje kapittelet presenterer vi en ny identitet angående inverstangenten av Fibonaccipolynom, og drøfter dens anvendelse angående Machin-lignende formler. Som et korollar viser vi at ved en klok anvendelse kan vi utlede en rekurrent cotangenssekvens av Shallit, og deretter redusere problemet om å finne en Machin-lignende formel med vilkårlig Lehmermål ned til et problem angående faktoriseringen av en håndfull av irredusible ledd.

In this Master's thesis we give two results on Machin-like formula. We first prove rigorously a remark by Lehmer that there exists a Machin-like formula of arbitrary measure by showing that for any integer $b\geq2$ there exists a Machin-like formula with Lehmer measure less than $1/\log_{10} b + 2 /\log_{10} (2b-1)$. This process involves repeateadly rationally approximating $\pi/4$ by means of integral arccotangent terms, and is outlined in chapter two. To motivate this, we outline the history of Machin-like formula and define their Lehmer measure in chapter one. Furthermore, in chapter one we outline the process described by Todd (1949) for determining when an integral arccotangent can be decomposed into smaller integral arccotangents.

In the third chapter we present a new identity involving the inverse tangent of Fibonacci polynomials and discuss its application to Machin-like formula. As corollary, we show that by means of clever application we can derive a recurrent cotangent sequence of Shallit, and subsequently reduce the problem of a finding a Machin-like formula of arbitrary Lehmer measure down to a problem of factorization of a handful of irreducible terms.