Monotone Finite Difference Methods for Mean Field Games in Diel Vertical Migration with Diffusion

Abstract

PhD-avhandlingen til Maksim Mazuryn gir en heuristisk utledning av en mean field game-modell (MFG) for diel vertical migration (DVM), som er en omfattende daglig migrering av havorganismer, og løser MFG-modellen ved hjelp av numeriske metoder. Den fokuserer ikke på rigorøs analyse av modellene og de numeriske løserne. Formålet med denne masteroppgaven er å utforske hvordan man kan gjøre rigorøs analyse i denne settingen.

I denne masteroppgaven tilpasser vi den monotone endelige differansemetoden som ble foreslått av Yves Achdou of Italo Capuzzo-Dolcetta til DVM-problemet. De numeriske metodene vil bli analysert for Hamilton-Jacobi-Bellman-likningen (HJB) og Fokker-Planck-likningen (FP) hver for seg, og vi kommer til å vise eksistens og unikhet av løsninger, og finne grenser og stabilitetsestimater. For kombinasjonen av de numeriske metodene for HJB-likningen og FP-likningen kommer vi til å vise eksistens av en løsning og diskutere vanskelighetene ved å vise unikhet og konvergens. DVM-problemet skiller seg ut fra det primære kildematerialet, hvor grensebetingelsene er periodiske i tid og koblingsleddet er monotont, ved å ha null-fluks og homogen Neumann grensebetingelser for forholdsvis FP-likningen og HJB-likningen, og ved å ha et ikke-monotont koblingsledd. Numeriske eksperimenter blir gjennomført, og koden kan bli funnet i mitt GitHub repository https://github.com/sindrol/Masters_Thesis.

The PhD thesis of Maksim Mazuryn gives a heuristic derivation of a mean field game (MFG) model for diel vertical migration (DVM), which is a large daily migration of marine organisms, and solves the MFG model using numerical schemes. It does not focus on stringent mathematical analysis of the models and the schemes. The purpose of this master's thesis is to start exploring how to make rigorous analysis in this setting.

In this master's thesis we will adapt the monotone finite difference scheme proposed by Yves Achdou and Italo Capuzzo-Dolcetta to the DVM problem. The scheme will be analysed separately for the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation and the Fokker-Planck (FP) equation, and we will show existence and uniqueness of solutions, and find bounds and stability estimates among other things. For the HJB-scheme and the FP-scheme in combination, we will show existence of a solution and discuss difficulties with showing uniqueness and convergence. The DVM problem stands out from the primary source material, where boundary conditions are periodic and the coupling term is monotone, by having no-flux and homogenous Neumann boundary conditions for the FP-equation and the HJB-equation respectively, and having a non-monotone coupling term. Numerical experiments are carried out, and the code can be found in my GitHub repository https://github.com/sindrol/Masters_Thesis.