Phase Transitions in Active Solids

Abstract

Aktiv materie kan defineres som et system av aktive partikler som omdanner energi fra omgivelsene, eller energi som er lagret i dem selv, til drivstoff for sin egen fremdrift. Et aktivt fast stoff har i tillegg krav om at naboene til hver partikkel forblir de samme. I denne avhandlingen simulerer vi oppførselen til epitelceller i monolag ved hjelp av en aktiv faststoffmodell, med mål om å finne de dynamiske modene, som en funksjon av systemparametrene, under ulike grensebetingelser og geometriske begrensninger.

Modellen vi bruker, tar for seg et system av sirkulære partikler, av ulik størrelse, som er innesperret i en todimensjonal vegg. Hver partikkel har sin egen fremdriftskraft og polarisasjonsretning, som endrer seg i henhold til forsøk på å tilpasse seg de elastiske kreftene som virker på partiklene. Både kraften fra veggen og interaksjonskraften mellom partiklene er modellert som fjærlignende krefter. For simuleringen av modellen vår bruker vi en rekke numeriske metoder for å løse ODE-ene som utgjør modellen vår.

I resultatene diskuterer vi hovedsakelig tilfellet av vår aktive faststoffmodell med en frastøtende grensebetingelse og en sirkulær vegg. Her konstruerer vi et fasediagram ut fra de tre dynamiske modene vi fant i systemet: rotasjon av stivt legeme, interne oscillasjoner og kaos. For de andre tilfellene vi ser på, den frastøtende grensebetingelsen med en firkantet vegg, og glide- og klebe-grensebetingelsene med en sirkulær vegg, gir vi bare tentative fasediagrammer basert på en sammenligning med den frastøtende grensebetingelsen med en sirkulær vegg. For glidegrensebetingelsen fant vi lignende dynamikk som for den frastøtende grensebetingelsen med en sirkulær vegg. For den frastøtende grensebetingelsen med en firkantet vegg fant vi to dynamiske moder: kollektiv aktuering og kaos. For klebe-grensebetingelsen fant vi fire ulike dynamiske moder: en frossen, uordnet tilstand, kollektiv aktuering, interne oscillasjoner og kaos. Den eneste felles dynamiske moden for alle de undersøkte systemene var den kaotiske moden, som i alle tilfellene kunne sees som mange spiraler som beveget seg gjennom systemet på en kaotisk måte. Faseovergangene for de frastøtende og glidende grensebetingelsene i kombinasjon med en sirkulær vegg ble observert gjennom den polare ordensparameteren for systemet. Vi observerte at denne ordensparameteren minket kontinuerlig fra én når vi forlot stivt legeme rotasjonsmoden, noe som tyder på at faseovergangen mellom stivt legeme rotasjonen og de interne oscillasjonene er en andreordens faseovergang. Et viktig resultat var vår observasjon av at systemet vårt går fra å ha en periodisk bevegelse til å oppleve kaos gjennom en periodedobling lignende oppførsel i verdien φ - forskjellen i vinkel mellom en partikkels polarisasjonsretning og retningen til den elastiske kraften som virker på partikkelen. Dette understreker at selv med det minimale ikke-lineære leddet i den aktive faststoffmodellen vår, ser vi tydelig ikke-lineær dynamikk når vi undersøker systemets oppførsel.

Active matter can be defined as a system of active particles that convert energy from its surroundings, or energy stored within themselves, to fuel their own self- propulsion. An active solid additionally has the requirement of the neighbours of each particle staying the same. In this thesis we simulate the behaviour of mono-layer epithelial cells through an active solid model, with the objective of finding the dynamical modes, as a function of the system parameters, under different boundary conditions and geometrical confinements.

The model that we use considers a system of circular particles of different sizes confined within a wall in two dimensions. Each particle have their own propulsion force and polarization direction, that changes according to attempting to align with the elastic forces working on the particles. Both the force from the wall and the interaction force between the particles are modelled as spring-like forces. For the simulation of our model, we use a variety of numerical methods for solving the ODEs that make up our model.

In the results, we mainly discuss the case of our active solid model with a repulsive boundary condition and a circular wall. Here, we construct a phase diagram from the three dynamical modes we found within the system: solid body rotation, internal oscillations and chaos. For the other cases we consider, the repulsive boundary condition with a square wall, and the slip and stick boundary conditions with a circular wall, we only give tentative phase diagrams based on a comparison with the repulsive boundary condition with a circular wall. For the slip boundary condition we found similar dynamics to that of the repulsive boundary condition with a circular wall. For the repulsive boundary condition with a square wall we found two dynamical modes: collective actuation and chaos. For the stick boundary condition we found four different dynamical modes: a frozen disordered state, collective actuation, internal oscillations and chaos. The one common dynamical mode of all the systems explored was the chaotic mode, which could be seen in all cases as many spirals moving through the system in a chaotic manner. The phase transitions for the repulsive and slip boundary conditions in combination with a circular wall was observed through the polar order parameter for the system. We observed this order parameter decreasing continuously from one when leaving the solid body rotation mode, implying that the phase transition between the solid body rotation and the internal oscillations is a second order phase transition. One important result found, was our observation that our system goes from having a periodic motion to experiencing chaos through a period doubling reminiscent behaviour in the value φ - the difference in angle between a particles polarization direction and direction of the elastic forced acting on the particle. This emphasizes that even with the minimal nonlinear term in our active solid model, we clearly see nonlinear dynamics when examining our systems behaviour.