Assessing the Compressive Properties of Platonic and Pacioli's Solids Pattern inspired lattice structures via Finite Element Analysis
Description
Full text not available
Abstract
Det finnes uendelig mange regulære polygoner, selv om det bare finnes fem regulære legemer som kjennetegnes ved at de har like sider, like flater og er omkranset av en kule. Blant disse særegne kroppene ble dodekaederet - en kropp som består av 12 like flater - tilskrevet pytagoreerne (580 f.Kr./570 f.Kr.-495 f.Kr.), mens gruppen av de fem kroppene fikk navnet sitt fra Platon (428/427 f.Kr.-348/347 f.Kr.), som nevner dem i dialogen Timaios. På 1400-tallet studerte den italienske matematikeren Luca Pacioli (ca. 1445-19. juni 1517) dem videre, og i «De Divina Proportione» (1509)1 skildrer han noen geometriske evolusjoner av de fem platonske kroppene som han oppdaget gjennom Leonardo da Vincis arbeid. I dag har noen av disse fascinerende kroppene blitt introdusert i materialdesign som enhetlige celler for gittermaterialer.2 Likevel er de platoniske faste stoffenes kompresjonsegenskaper under kvasistatiske forhold ennå ikke fullt ut forstått. Paciolis studie av den geometriske utviklingen av platoniske faste stoffer (de såkalte Pacioli-faststoffene) har heller ikke blitt undersøkt nærmere. Med utgangspunkt i undersøkelsen av platonske faste stoffer, og med inspirasjon fra et av de faste stoffene tegnet av Pacioli, foreslår dette bidraget en ny konstruksjonsmetode for å skape nye faste stoffer med et høyere antall flater som kan tjene som enhetsceller for gitterstrukturer. Modeller av de volumetriske elementene som representerer både de platoniske kroppene og de nye gitterstrukturene, er konstruert ved hjelp av finite element (FE)-analyse løst med den kommersielle programvaren ABAQUS. Hver struktur er modellert ved hjelp av bjelkeelementer i 3D-rom, og materialet er modellert som et lineært elastisk materiale. For å simulere enaksial trykkbelastning på strukturene er det lagt inn forskyvninger i ett toppunkt og innspenningsbetingelser i det motsatte toppunktet, og krefter og innspenninger er lagt inn langs forbindelsen mellom to toppunkter. Resultatene viste at de nye kroppene har en maksimal kraft som alltid øker med antall flater, mens den maksimale forskyvningen blir mer begrenset. Ved å transformere kraft-forskyvningsdiagrammet til et effektivt spennings-tøyningsdiagram ved hjelp av avgrensningsboksens areal og høyde, viser det seg at de nye kroppene med opptil 50 overflater har lignende oppførsel som de platoniske kroppene. Etter hvert som antallet overflater på de nye kroppene øker, observeres det også en mye større effektiv spenning. Kuben og dodekaederet viser sammenlignbar oppførsel, med en effektiv tøyning som er mye større enn alle de andre, men til gjengjeld en mye lavere effektiv styrke. Studien gir kunnskap om belastningsmekanismen i gitterstrukturer av nye faste stoffer inspirert av platonske og Paciolis faste stoffer. Infinite regular polygons exist, even if only five regular solids whose characteristic features are: having equal sides, equal faces, and bring circumscribed by a sphere. Among these peculiar solids, the dodecahedron–a solid constituted by 12 equal faces–was attributed to the Pythagoreans (580 B.C./570 B.C.-495 B.C.), while the group of the five solids took the name from Plato (428/427 B.C.-348/347 B.C.), who mentions them in his dialogue entitled Timaeus. In 15th century the Italian mathematician Luca Pacioli (ca. 1445-June 19, 1517) studied them further, depicting some geometrical evolutions of the five Platonic solids that he discovered through the work of Leonardo Da Vinci in “De Divina Proportione" (1509). Nowadays, some of these fascinating solids have been introduced into materials design as unitary cell for lattice materials. Notwithstanding, the compressive properties of Platonic solids under quasi-static conditions are not fully understood yet. The study of the geometrical evolution of Platonic solids done by Pacioli (i.e., the so-called Pacioli solids) has also not been further investigated. This contribution, starting from the investigation of Platonic solids, and taking inspiration from one of the solid drawn by Pacioli, proposes a novel construction methodology for creating new solids with a higher number of faces which may serve as unitary cells for lattice structures. Models of the volumetric elements representing both the platonic solids and the new lattice structures have been constructed by means of finite element (FE) analysis solved with the commercial software ABAQUS. Each structure has been modelled using beam elements in 3D space and the material modelled as a linear elastic material. In order to simulate uniaxial compressive loading on structures, displacements applied at one vertex and restraint conditions applied at the opposite vertex have been imposed; forces and restraints have been applied along the conjunction of two vertices. The results showed that new solids exhibit a maximum applicable force that always increases with the number of surfaces, while the maximum displacement becomes more limited. By transforming the Force-Displacement plot to effective stress-strain plot via bounding box area and height, it is shown that the new solids up to 50 surfaces have similar behavior as the platonic solids. Then, as the number of surfaces of the new solids increases, a much greater effective stress is also observed. The cube and dodecahedron exhibit comparable behaviors, with effective strain much greater than all the others, but in contrast a much lower effective strength. In conclusion, the study provides knowledge about the loading mechanism of lattice structures of new solids inspired by platonic and Pacioli’s solids.