Numerical Investigation of Quantum Scattering Problems - The Lippmann-Schwinger Equation and the Dynamical Formulation of Time-Independent Scattering

Abstract

I denne avhandlingen studerer vi kvantespredning i to dimensjoner, både ved hjelp av standardmetoden med Lippmann-Schwinger-ligningen og den nye dynamiske formuleringen av tidsuavhengig spredning. Vi utvikler et numerisk program for å løse Lippmann-Schwinger-ligningen for et generelt todimensjonalt potensial. Deretter utvikler vi en approksimasjonsmetode for å løse den dynamiske formuleringen av tidsuavhengig spredning for en spesiell familie av potensialer. Denne metoden gir en enkel måte å approksimere spredningsamplituden på, og den kan enkelt implementeres numerisk. Vi bruker begge disse metodene til å studere et todimensjonalt deltapotensial som også løses analytisk for å sammenligne. Til slutt bruker vi de utviklede metodene til å studere et potensial med komplekse verdier som også kan vise usynlighet. Her viser vi også at førsteordensapproksimasjonen av spredningsamplituden fra Lippmann-Schwinger-ligningen er identisk med førsteordensapproksimasjonen fra approksimasjonsmetoden vår. Noen metoder for å generalisere approksimasjonsmetoden er nevnt og overlatt til fremtidige arbeider.

In this thesis we study quantum scattering in two dimensions, both through the standard method with the Lippmann-Schwinger equation and the new dynamical formulation of time-independent scattering. We develop a numerical program for solving the Lippmann-Schwinger equation for a general two-dimensional potential. Then we develop an approximation method for solving the dynamical formulation of time-independent scattering for a special family of potentials. This method gives an easy way to approximate the scattering amplitude, and it can easily be implemented numerically. We use both these methods to study a two-dimensional delta potential that is also solved analytically for comparison. In the end, we use the developed methods to study a complex-valued potential that can also show invisibility. Here we also show that the first order approximation of the scattering amplitude from the Lippmann-Schwinger equation is identical to the first order approximation from our approximation method. Some methods for generalizing the approximation method is sketched and left for future works.