An SAV-based energy dissipative surface finite element method for the Cahn-Hilliard equation

Abstract

Cahn-Hilliard ligningen modellerer faseseparasjon og relaterte fenomener [1] og har flere bruksområder innen biofysikk, spesielt for modellering av cellemembraner. Ligningen er en pariell differensialligning som involverer en fjerde ordens differensialoperator i rom, er tidsavhengig med oppførsel over flere forskjellige tidsskala og i tillegg ikke-lineær. Dette fører til en rekke utfordringer for numerisk løsning av ligningen. Fra termodynamiske prinsipper følger det at ligningen i tillegg er energidissiperende. I denne oppgaven utvikler og tester vi en endelig elementmetode for Cahn-Hilliard ligningen på overflater og metoden er basert på et rammeverk for generelle energidissiperende systemer som er ubetinget energidissiperende. Dette rammeverket kalles Scalar Auxiliary Variable (SAV) metoden [2-4]. Nylig har denne metoden blitt forbedret med tanke på beregningsmessig effektivitet ([5, 6]) og så vidt vi vet har ikke den forbedrede versjonen av SAV metoden blitt implementert på partielle differensialligninger på overflater. Vi presenterer en blandet endelig elementmetode for overflater både for et betinget energistabilt implisitt/eksplisitt (IMEX) numerisk skjema og det ubetinget energistabile SAV skjemaet og implementerer en adaptiv tidsskrittsmetode for begge skjema. Konvergens er vist for alle skjema ved numeriske eksperimenter og vi sammenligner effektiviteten og dissipasjonen til de adaptive tidsskrittsmetodene.

The Cahn-Hilliard equation models phase separation phenomena [1] and has many uses in biophysics, especially in the modeling of cell membranes. The equation is fourth order in space, time-dependent with behavior at multiple timescales and non-linear, which poses many challenges for its numerical solutions. Derived from thermodynamical principles, it follows that the equation is also energy dissipative. This thesis develops and tests a surface finite element method for the Cahn-Hilliard equation based on a framework for unconditionally energy stable schemes for general dissipative systems known as the Scalar Auxiliary Variable (SAV) approach [2-4]. Recent advances ([5, 6]) have yielded a more computationally efficient version of SAV which to our knowledge has never been applied to surface partial differential equations. We provide a mixed surface finite element method for both a conditionally energy stable Implicit-Explicit (IMEX) scheme and the unconditionally energy stable SAV scheme and implement time adaptive methods for both schemes. The schemes are shown to converge through numerical experiments, and we compare the efficiency and dissipation of the time adaptive methods.