Uniqueness of Dissipative Solutions for the Hunter--Saxton Equation

Abstract

Denne oppgaven utforsker unikheten av globale, dissipative løsninger av den symmetrisk integrerte Hunter–Saxton-ligningen med initialdata u0 ∈ E2 med derivert u0,x nesten overalt begrenset ovenfra, hvor E2 er mengden av funksjoner i H1(R) med asymptoter lagt til. Metoden er basert på allerede eksisterende bevis av unikhet for dissipative løsninger av Camassa–Holm-ligningen og for konservative løsninger av Hunter–Saxton-ligningen. Den består av å først vise at det finnes en dissipativ løsning for hver u0, ved å bruke karakteristikker, og deretter vise at enhver dissipativ løsning med initialdata u0 må sammenfalle med den konstruerte løsningen. Unikhetsbeviset presentert i denne oppgaven inneholder et steg som kanskje trenger ytterligere begrunnelse eller reformulering. Som forberedelse til unikhetsbeviset, betraktes de følgende aspektene. Alle klassiske løsninger på I × R, hvor I er et tidsintervall, beskrives, inkludert de med uendelig energi. Det vises at man oppnår unikhet av klassiske løsninger ved å velge akselerasjonen til en karakteristikk eller ved å velge en integrert versjon. Videre defineres svake løsninger, og eksistens av dissipative løsninger vises, som nevnt i første avsnitt.

This thesis investigates the uniqueness of global, dissipative solutions for the symmetrically integrated Hunter–Saxton equation with initial data u0 ∈ E2 with derivative u0,x almost everywhere bounded from above, where E2 is the set of functions in H1(R) with asymptotes added. The procedure is based on already existing proofs of uniqueness of dissipative solutions for the Camassa–Holm equation and of conservative solutions for the Hunter–Saxton equation. It consists of first showing that there exists a dissipative solution of the symmetrically integrated Hunter–Saxton equation for each u0, by using characteristics, and then showing that any dissipative solution with initial data u0 must coincide with the constructed solution. The uniqueness proof presented in this thesis contains a step that may need additional justification or reformulation. As preparation for the uniqueness proof, the following aspects are considered. All classical solutions on I × R, where I is a time interval, are described, including those with infinite energy. It is shown that one obtains uniqueness of classical solutions by choosing the acceleration of one characteristic or by choosing an integrated version. Further, weak solutions are defined, and, as mentioned in the first paragraph, existence of dissipative solutions is established.