Analysis of traffic with two lanes using numerical and analytical methods

Abstract

Vi kjem her til å sjå nærare på trafikkflyt i system der det er to felt med køyretøy som køyrer i samme retning. Modellen me skal sjå på er ein Lighthill-Whitham-Richards type modell i kvart felt. Saman med ei antaking om at køyretøy alltid vil skifte til det feltet der køyretøya har høgast hastighet. Modellen vi då ender opp med er eit system av svakt kopla hyperbolske konserveringslover.

For å analysere slik trafikk starter vi med å etablere metoden vi skal benytte for simuleringar. Vi kjem då til å benytte ein klasse numeriske skjema som blir basert på operator splitting. Der vil vi då kombinere endeleg volum metodar og eit eksplisitt Euler skjema, som vi også gir eit bevis for at konvergerer.

Etter at vi har presentert metoden vi skal nytte for simuleringane skal vi gjengi nokre resultat frå simuleringane. Vi kjem då også til å peike ut nokre trekk som går igjen, og nytte dette til å anmode kva eigenskapar vi gjerne vil vise analytisk at held for modellen. I dette kjem vi særlig til å sjå på om utviklinga i tid av trafikkflyten vil føre til like hastighetar i dei to felta asymptotisk.

Vi avslutter så med ein seksjon der vi forsøker å analytisk vise at dei eigenskapane simuleringane anmoder virkelig stemmer. Her kjem vi særleg til å sjå på nokon enklare eksempel der vi kan vise direkte om hastighetane i dei to felta blir like eller ikkje.

In the following, we analyse traffic flow in a system with two lanes. We study a Lighthill-Whitham-Richards (LWR) type model with the added complexity of two lanes where vehicles are assumed to always switch to the neighbouring lane if vehicles in that lane are moving faster. The resulting model is then a weakly coupled system of hyperbolic conservation laws.

We start by presenting a numerical scheme for weakly coupled hyperbolic conservation laws. This scheme is based on the use of operator splitting. Combining finite volume methods with an explicit Euler scheme. We will provide proof of the convergence of this scheme.

After presenting this numerical method, we show results from some simulations of the traffic model. We comment on these results and suggest what might be the asymptotic behaviour in time of the model. In particular, we will look at if the velocities in the two lanes become equal asymptotically.

We will finish with a closer look at the analytical properties of the model for traffic flow. This will consist of looking at special cases and what asymptotic behaviour in time these cases will show. We will especially look at which cases give a difference in velocity going to zero after a long time.