Proving Wedderburn's little theorem

Abstract

Oppgaven handler om å bevise Wedderburn's lille teorem som sier at et hvert endelig integritetsområde er en endelig kropp. Oppgaven begynner med å bevise at endelige integritets områder er divisjonsringer. Etter det beskrives egenskapene av enelige kropper og dens underkropper. Deretter diskuteres automorfier og normer av Galois kropper. Vi bruker kunnskapen om disse funksjonene til å vise at multiplikative gruppen til en divisjonsring har følgende egenskap: en hver abelsk undergruppe sin normalisator er lik den undergruppen sin sentralisator. Det siste teoremet som er vist sier at en endelig gruppe som har denne egenskapen er abelsk, dermed er endelige divisjonsringer endelige kropper.

The goal of this text is to prove Wedderburn’s little theorem. The theorem states that all finite integral domains are finite fields, also called galois fields. The outline of this text is as follows. We start by stating some of the basic definitions from algebra. Then we will prove that finite integral domains are division rings. After that we break down the important theorems about finite fields. We also look at two different types of functions on finite fields called automorphisms and norms. From there we can prove that finite division rings are fields. We show that the centralizer coincides with the normalizer of any abelian group of the multiplicative group of a finite division ring. We show that any finite group with this property is abelian.