Handling Discontinuities in Numerical ODE Methods

Abstract

Et vanlig ønske i mange typer arbeid er å finne den fremgangsmåten som gir best resultat uten å kreve for mye innsats. For eksempel så krever modellering av hvordan forurensende stoffer sprer seg i havet at man beregner et stort antall baner, og det er derfor av interesse å finne den mest effektive måten å beregne disse banene på som fremdeles gir nøyaktige nok resultater. Dersom man er gitt et hastighetsfelt så kan man beregne disse banene ved å sette opp en ordinær differensialligning og løse den ved hjelp av numerisk integrasjon. Havstrømmene utgjør hastighetsfeltet i havet, og disse strømmene kan måles, men kun ved diskrete posisjoner og tider. For å kunne bruke dette feltet i beregninger av baner er man derfor nødt til å interpolere dataene fra de diskrete punktene, og hvilken type interpolasjon man velger har konsekvenser for hvilken nøyaktighet man kan oppnå med en gitt integrator.

Denne studien ser på to metoder som er mye brukt i numerisk integrasjon. Den ene er den velkjente Runge-Kutta-metoden av orden 4, implementert med fast tidssteg, og den andre er et innebygget Runge-Kutta-par av orden 5(4), kjent som Dormand-Prince 5(4), implementert med varierende tidssteg. Disse metodene er testet i kombinasjon med lineær, kvadratisk, kubisk, og kvintisk spline-interpolasjon. Siden funksjoner som er interpolert med spline-interpolasjon har diskontinuerlige deriverte av en viss orden blir det også konstruert en spesial-variant av hver av de to metodene, som er spesialdesignet til å håndtere diskontinuiteter i den romlige dimensjonen av hastighetsfeltet. Studien anvender seg av et hastighetsfelt som er uavhengig av tid og definert i to romlige dimensjoner.

Resultatene viser at hvilken integrator som er optimal avhenger av valg av interpolasjonsmetode. For lineær og kvadratisk spline-interpolasjon gir spesial-variantene bedre resultater enn de vanlige metodene. Det ble også funnet at spesial-varianten av den fjerdeordens Runge-Kutta-metoden ga én orden bedre konvergens enn den vanlige fjerdeordens Runge-Kutta metoden i kombinasjon med lineær og kvadratisk spline-interpolasjon. For kubisk og kvintisk spline-interpolasjon ble det funnet at de opprinnelige variantene av integrasjonsmetodene oppnådde samme nøyaktighet som spesial-variantene på en noe mindre kostbar måte.

Resultatene av denne studien kan være nyttige for transportproblemer i havet, og i andre anvendelser der man beregner baner fra diskrete hastighetsfelt. De ville imidlertid vært enda mer verdifulle i kombinasjon med en prosedyre som kan håndtere diskontinuiteter i den temporale dimensjonen av diskrete tidsavhengige hastighetsfelt. En slik studie ville være en naturlig fortsettelse av dette arbeidet.

It is a common goal when doing any task to want to find the approach that gives the best results without requiring too much effort. For example, modelling the spread of pollutants in the ocean requires computations of a large number of trajectories, so one would be interested in finding the most efficient way to compute these trajectories that still gives an accurate enough result. Given a velocity field one can compute trajectories by setting up an ordinary differential equation and solving it using numerical integration. The velocity field in the ocean is made up by currents which can be measured or modelled, but only at discrete positions and times. To be able to use this velocity field in trajectory computations one must therefore interpolate the data from these discrete points, and the choice of interpolation scheme affects the accuracy one can obtain from a given solver.

This study investigates two methods that are commonly used in numerical integration. One is the well-known fixed-step Runge-Kutta method of order 4, and the other is the variable-step embedded Runge-Kutta method of order 5(4), known as Dormand-Prince 5(4). These are tested in combination with linear, quadratic, cubic, and quintic spline interpolation. Since functions interpolated using spline interpolation have discontinuous derivatives of some order, special-purpose variants of the two integration methods are created, which are designed to handle the discontinuities in the spatial dimensions of the velocity field better. The study considers a time-independent velocity field in two spatial dimensions.

Results show that which solver is the best choice depends on the interpolation scheme. For linear and quadratic spline interpolation, both special-purpose methods performed better than their regular counterparts. The special-purpose fourth-order Runge-Kutta method was also found to improve the order of convergence compared to the regular variant when combined with both linear and quadratic spline interpolation. For cubic and quintic spline interpolation the regular integration methods obtained the same accuracy as their corresponding special-purpose variants at a slightly lower computational cost.

The results found here can be useful for ocean transport problems and other applications where trajectories are found from discrete velocity fields. However, they would be even more valuable in combination with a procedure that handles discontinuities in the temporal dimension of a discrete time-dependent velocity field. Such a study would be a natural follow-up to this work.