Analysis of a Higher Order Cut Discontinuous Galerkin Method for Coupled Bulk-Surface Problems

Abstract

I denne oppgaven foreslår og analyserer vi en ny diskret-gjøring for den numeriske løsningen av koblede bulkoverflate-problemer, hvor en diffusjonsreaksjonsligning i et bulkdomene er koblet med en korresponderende ligning på randen av bulkdomenet. Vi utvikler en høyere ordens skåret diskontinuerlig Galerkin-metode (skåretDGM) for koblede bulkoverflate-problemer ved å kombinere diskontinuerlig Galerkin med skårne endelig element-metoder der nettet ikke passer til randen. Det fysiske domenet blir istedenfor bygget inn i et større domene hvor det er enkelt å bruke et nett. De endelige elementrommene som behøves for å representere de respektive overflate- og bulkproblemene konstrueres av de endelige elementrommene fra bakgrunnsnettet til overflaten og bulkdomenet, ved å benytte det samme nettet og det samme rommet for å diskret-gjøre overflaten og bulkproblemet. Vi møter en utfordring når vi skal håndtere potensielle små skårne elementer som kan ha en drastisk effekt på egenskapene til det underliggende skjemaet. For eksempel er stabilitets- og tilnærmingsegenskaper svært følsomme for den relative plasseringen av randen i bakgrunnsnettet. For å bøte på dette utvikler vi stabiliseringer som vi anvender på elementer i nærheten av det innebygde randdomenet. Dette lar oss vise geometrisk robust stabilitet, og optimale konvergensegenskaper.\footnote{Der det mangler etablerte oversettelser av konseptene jeg har benyttet i oppgaven og nevner i dette sammendraget, har jeg foreslått norske oversettelser basert på tyske og svenske konvensjoner. For de engelske begrepene viser jeg til den engelske versjonen av sammendraget, i 'Abstract'.}

In this thesis, we propose and analyze a novel discretization for the numerical solution for the coupled bulk-surface problems, where a diffusion-reaction equation in a bulk domain is coupled to a corresponding equation on the boundary of the bulk domain. We develop a higher cut Discontinuous Galerkin method (cutDGM) for the coupled bulk-surface problems by combining discontinuous Galerkin method with cut finite element technologies, for when the mesh does not fit to the boundary. Instead, the physical domain is embedded into a larger domain, which is easy to mesh. The finite element spaces needed to represent the respective surface and bulk problems are constructed by the finite element spaces from the background mesh to the surface and bulk domain, using the same mesh and space to discretize the surface and bulk problem. We encounter a challenge in handling small cut elements that can severely effect the properties of the underlying scheme. For instance, the stability and approximation properties are highly sensitive to the relative positioning of the boundary in the background mesh. As a remedy, we develop stabilizations applied on elements in the vicinity of the embedded boundary domain. This enables us to show geometrically robust stability and optimal convergence properties.