Control in Atomic Force Microscopy: A Fractional Order Approach

Abstract

Denne avhandlingen er viet til undersøkelsen av fraksjonell-ordens kontroll innen nanoposisjonering. Hovedmålet har vært å teste og finne ut om teorien bak fraksjonell kalkulus kan bli brukt til å forbedre følging av referansesignaler i nanoposisjoneringssystemer. Til dette formål har et sett med fraksjonell-ordens kontrollere blitt utviklet og implementert for å kontrollere det horisontale, piezoelektrisk styrte posisjoneringstrinnet til et atomkraftmikroskop (AFM). Hvor et atomkraftmikroskop er et system som kan måle topologien til en overflate på mikro- til nanometer nivå. Den svært kjente PID kontrolleren og den mindre kjente positiv-posisjons-tilbakekoblings (PPF) kontrolleren med referansefølging, har blitt brukt som basis for denne studien og har blitt supplert med fraksjonell-ordens integrasjon og derivasjon, og tuning med en optimaliseringsbasert, eksperimentell metode. Den eksperimentelle tuningsmetoden bruker en genetisk algoritme, en heuristisk optimaliseringsmetode, til å finne gode kontrollparametere, samtidig som stabilitet er sikret gjennom automatisk evaluering av det godt kjente stabilitetskriteriet til Nyquist. Metoden er betegnet som eksperimentell siden det ikke er kjent for forfatteren om Nyquist sitt stabilitetskriterium er gyldig for fraksjonell-ordens transfer funksjoner eller ikke. Likevel, på tross av denne usikkerheten har metoden vist lovende resultater og har vært i stand til å optimalisere både fraksjonell-ordens og heltall-ordens PID og PPF kontrollere. De resulterende kontrollerene har blitt testet både gjennom simulering med MATLAB, og eksperimentelt på et kommersielt AFM system med hjelp av MATLAB og dSpace. Oustaloup filter-approksimasjoner har blitt brukt for å realisere de fraksjonell-ordens integrasjonene og derivasjonene i kontrollerene. Resultater viser at PPF kontrollerene med integral følging av referanser er mye bedre til å dempe resonanstoppene enn standard PID kontroll, og kan oppnå høyere båndbredde. Resultatene indikerer også at fraksjonell-ordens integral følging med en fraksjonell-orden mellom en og to er i stand til å fjerne stasjonært avvik ved følging av rampelignende signaler. På den annen side vil en fraksjonell-orden under en lede til et stasjonært avvik som øker sakte med tiden. Bortsett ifra disse observasjonene går det ikke an å si at introduksjonen av fraksjonell-orden i kontrollerene har ført til forbedret følging av referansesignaler, når en sammenligner med de vanlige variantene med heltallsorden. I tillegg til hovedresultatene, kan det legges til at en MATLAB funksjon for plotting av et logaritmisk Nyquist diagram for fraksjonell-ordens transferfunksjoner har blitt produsert. Denne funksjonen kan vise seg å bli verdifull for stabilitetsanalyse av fraksjonell-ordens transferfunksjoner hvis det viser seg at Nyquists stabilitetskriterium holder for slike systemer.

This thesis is devoted to the investigation of fractional-order control in nanopositioning. The main goal being to test and find out if the theory of fractional calculus could be used to improve tracking performance for nanopositioning systems. To this end, a set of fractional-order controllers have been designed and implemented for the control of the piezoelectric actuated lateral positioning system of an Atomic Force Microscope (AFM). An AFM being a system which can capture the topology of surfaces at the micro- to nanometer scale. The well-known PID controller and the less known Positive Position Feedback (PPF) controller with tracking, have been used as a basis for this study and have been augmented with fractionalorder integrals and derivatives, and tuned with an optimization based, experimental method. The experimental tuning method uses the genetic algorithm, a heuristic optimization method, to find good controller parameters, while ensuring stability through automatic evaluation of the well-known Nyquist stability criterion. The method has been termed experimental because it is not known to the author whether the Nyquist criterion is valid for fractional-order transfer functions or not. Despite this uncertainty, the method has shown promise and has been able to optimize both fractional-order and integer-order PID and PPF controllers. The resulting controllers have been tested both in simulations with MATLAB, and experimentally on a commercial AFM system with the help of MATLAB and dSpace. Oustaloup filter approximations have been used for the realization of fractional-order integrals and derivatives in the controllers. Results show that PPF controllers with integral tracking is much better at damping the resonance modes than standard PID control and can achieve higher bandwidth. The results also indicate that fractional-order integral tracking with a fractional-order between one and two can remove steady state error when tracking ramp-like signals. On the other hand, a fractionalorder below one leads to a steady state error that increases slowly with time. Apart from these observations, the introduction of fractional-orders into the controllers cannot be said to have increased the tracking performance much, when compared to their regular integer-order variants. In addition to the main results, a MATLAB function for the plotting of logarithmic Nyquist diagrams for fractional-order transfer functions has been created. This function can prove invaluable for stability analysis of fractional-order transfer functions given that the Nyquist criterion is valid for such systems.