Modeling and Simulation of Respiratory Flow

Abstract

I denne masteroppgaven presenteres, implementeres, testes og diskuteres en forenklet modell for å simulere respiratorisk strømning. Initialbetingelser og grensebetingelser for både stabile og ustabile strømninger er lagt frem. Simuleringer blir gjennomført for både stabile og oscillerende strømninger med tilhørende grensebetingelser.

De viktigste forenklingene og antakelsene bak modellen er bruken av en forenklet geometri, i dette tilfellet en konvergerende-divergerende dyse (CDN), den kvasi-endimensjonale tilnærmingen, og antagelsene om ikke-viskøs strømning og ideell gass.

Modellen bygger på de kompressible kvasi-1D Euler-ligningene. Den numeriske modellen består av stagnasjons initialbetingelser og stabile grensebetingelser knyttet til trykkforholdet som driver strømningen. Forholdet mellom lungetrykket og omgivelsestrykket er modellert av forholdet mellom trykket ved utgangen til dysen og stagnasjonstrykket. Oscillerende strømning styres av ustabile grensebetingelser som modellerer den respiratoriske syklusen. Det er innført en sinusformet, tidsvarierende, stagnasjonstrykks grensebetingelse som representerer lungene.

Diskretisering av modellen er gjort ved hjelp av volummetoden (FVM). For å simulere modellen er både første ordens og hørere ordens diskretiserings-metoder implementert: første ordens eksplisitt Euler-metoden med Rusanov-metoden, og tredje ordens SSP Runge-Kutta-metoden med MUSCL ekstrapolering av de konservative variablene.

De stabile grensebetingelsene er testet for to caser på en konvergerende-divergerende dyse: en med transsonisk strømning, og en med strømning med lave Mach-tall. De ustabile grensebetingelsene er testet for et konstant areal med strømning med lave Mach-tall.

Resultatene viser de forventede strømningsforholdene for stabil strømning i en konvergerende-divergerende dyse, og modellen kan derfor verifiseres ved hjelp av den eksakte analytiske løsningen. Presise resultater er oppnådd, spesielt for strømning med lave Mach-tall, med relative feil på under 1\% i forhold til den eksakte løsningen. For oscillerende strømning viser resultatene høy grad av overensstemmelse med de forventede strømningsforholdene.

Verifikasjon av modellen for transsonisk strømning og strømning med lave Mach-tall i en CDN er oppnådd ved sammenligning med den eksakte analytiske løsningen. Imidlertid støter modellen på noen problemer knyttet til stabilitet og romdiskretisering. Den foreslåtte modellen for oscillerende strømning viser god overensstemmelse med den gjennomgåtte litteraturen. Dog er det behov for en mer kompleks modell og ytterligere testing for å oppnå en verifisering av modellen for ustabil strømning med lave Mach-tall.

For videre forbedring av modellen tilrådes det å undersøke "well-balanced" metoder for diskretisering av kildeleddet som potensielt kan løse stabilitets- og rom-resolusjonsproblemene. Det er anbefalt å undersøke forskjellige typer oscillerende grensebetingelser. I tillegg kan det være hensiktsmessig å utvide modellen ved å ta hensyn til transportfenomener og en mer kompleks geometri, slik at modellen blir mer allsidig og realistisk.

In this master thesis, a simplified model for simulation of respiratory flow with initial and boundary conditions is derived, implemented, tested and discussed. Both steady and unsteady flow simulations are performed using corresponding boundary conditions.

The main simplifications and assumptions behind the model are the use of a simplified geometry, in this case a converging-diverging nozzle (CDN), the quasi-one-dimensional approach, and the assumptions of inviscid flow and perfect gas.

The governing equations of the model are the compressible quasi-1D Euler equations. The numerical model prescribes initial stagnation conditions and steady boundary conditions pertaining to the pressure relation driving the flow. The relation between the pulmonary pressure in the lungs and the surrounding ambient pressure is modeled by the relation between the nozzle exit pressure and the stagnation pressure. Oscillating flow is governed by unsteady boundary conditions modeling the respiratory cycle. A sinusoidal time-varying stagnation pressure condition describing the lungs is implemented.

The model is discretized using the finite volume method (FVM). For simulation, both first order and higher order discretization methods are implemented: the first order explicit Euler method with the Rusanov scheme and the third order SSP Runge-Kutta method with second order MUSCL extrapolation of the conservative variables.

The model with steady boundaries is tested for two cases applied to a CDN, one with transonic flow conditions and one with low Mach number flow conditions. The unsteady boundaries are tested for a constant cross-sectional area with low Mach number flow.

Results show that the model yields the expected flow phenomena for steady flow simulations in a CDN and may be verified against the exact analytical solution. Accurate results are obtained, especially for the low Mach number flow, with relative errors under 1% when compared with the exact analytical solution. For oscillating flow, the results show significant agreement with the expected flow features.

Verification of the model applied to steady transonic and low Mach number flow with a varying cross-sectional area is achieved by comparison to the exact analytical solution. However, some spatial resolution issues and stability issues are encountered. The proposed model simulates oscillating flow in satisfactory accordance with the reviewed literature. More testing is nevertheless required to obtain a verified solution for unsteady low Mach number flow, although this is dependent upon improving the complexity of the model.

For further improvement of the model, it is advised that one look into well-balanced methods for discretization of the source term to potentially resolve the encountered spatial resolution and stability issues. Furthermore, it is suggested to consider and compare different types of oscillating boundary conditions. Additionally, the model may be improved upon by taking transport phenomena and a more complex geometry into account, yielding a more comprehensive and realistic model for respiratory flow.