Hurtig simulering av ultralydavbildning av flater i 3D: Ved hjelp av Fouriertransformen

Abstract

Denne rapporten presenter en ny og egenutviklet metode for å simulere ultralydavbildning av flater i rommet. Metoden bygger på, og er laget med tanke på bruk sammen med, ultralydsimulatoren FUSK som er utviklet av Torbjørn Hergum ved ISB NTNU. FUSK er allerede en svært rask simulator i ultralydsammenheng. Den nye metoden er både raskere og kvalitativt bedre enn FUSK når det gjelder avbildning av flater. I ultralydavbildning brukes en transduser til både å sende ut en ultralydstråle og til å motta ekko som sendes tilbake fra strukturer i objektet som undersøkes. Innfallsvinkelen mellom ultralydstrålen og et flateelement avgjør om ekkoet når tilbake til transduseren. Dersom ekkoet ikke når tilbake til transduseren vil ikke flateelementet synes på ultralydbildet. Ved simulering av ultralydavbildning av en flate må denne anisotrope effekten gjengis korrekt. Det viktigste premisset bak FUSK og den nye metoden er at ultralydsystemets punktsprederfunksjon (psf) antas romlig invariant. Dermed kan avbildningen modelleres som en konvolusjon i rom mellom objektet og psf, eller ekvivalent, men raskere som en multiplikasjon i det romlige frekvensdomenet (k-space) mellom de respektive Fouriertransformene til objektet og til psf. Et avbildningsobjekt i den opprinnelige versjonen av FUSK består av en diskret samling med punktspredere. Objektet gis som input på glissen form, og FUSK mapper sprederne til et kartesisk gitter med et antialiasfilter. Ved hjelp av FFT-algoritmen bringes objektet over i det romlige frekvensdomenet hvor avbildningen finner sted. Flater kan representeres og avbildes på denne måten, men antallet punkter som kreves for å få tilfredsstillende kvalitet er svært høyt og kjøretiden til FUSK øker lineært med antall spredere. Hovedpoenget med den nye metoden er å erstatte samlingen med diskrete punktspredere med et kontinuerlig geometrisk objekt og en analytisk sprederintensitetsfunksjon (sif) definert over objektet. Funksjonen er valgt på en slik måte at det er mulig å beregne Fouriertransformen analytisk. Takket være Huygensprinsippet kan et analytisk beskrevet objekt betraktes som en samling med punktspredere som ligger uendelig tett. Objektet som avbildes med den nye metoden består av en vilkårlig flate i rommet og en konstant eller sakte varierende sif definert over denne flaten. En tilnærming av objektet gjøres ved at flaten tilnærmes med et triangulært gitter G, og sif tilnærmes med en funksjon fG som er stykkevis konstant over hvert triangel i gitteret. I denne oppgaven viser jeg hvordan vi kan finne den analytiske Fouriertransformen av en slik funksjon fG, og hvordan dette kan brukes til å simulere ultralydavbildning av flater langt raskere og bedre enn ved å benytte en diskret samling med punktspredere. Kjøretiden til den nye metoden øker lineært med antall triangler benyttet i motsetning til i FUSK hvor kjøretiden øker lineært med antall punkt benyttet.