Ikke-kommutative Sobolev-rom

Abstract

Først blir det essensielle av forkunnskaper introdusert. Dette inneholder den grunnleggende Hilbert C*-modulteorien, definisjonen og konstruksjonen av Moritaekvivalenser samt noen konsekvenser av dette. På disse bimodulene definerer vi derivasjoner og sammenhenger, som lar en kompleks struktur bli etablert. Så tar vi for oss tids-frekvens analyse, som ender i definisjonen av vektede modulajonsrom, og en komplett karakterisering av den vektede versjonen av Feichtingers algebra som vindusklasse. Vi introduserer også rammeteori (frame theory), spesielt Gaborrammer. Disse strukturene er brukt til å konstruere endelig genererte projektive moduler over Moyal-planet, en differensiabel struktur på den ikke-kommutative torusen og Moyal-planet. Ved å bruke lokalisajonsoperatoren prøver vi å etablere den samme strukturen for det vektede tilfellet. Vi lykkes i dette, med noen små modifikasjoner. Med motivasjon grunnet i klassisk Sobolevteori, definerer vi en ikke-kommutativ analog av disse rommene. Vi viser at disse rommene har de vanlige egenskapene, inkludert begrensede, kompakte embeddingene for synkende vekter. Differensialoperatorer på disse funksjonsrommene er da relatert til Connes pseudedifferensiale kalkulus og Higsons teori om abstrakte Sobolev-rom.