Reduced Order Modeling Techniques for Non-Affine Problems in Solid Mechanics

Abstract

For å aktivere den fulle kraften til offline-online konseptet i Redusert Ordens Modellering (ROM), må det parametriserte problemet være affint under variasjon av parameterne. Imidlertid er mange relevante problemer, spesielt de som involverer parametrisert geometri, ikke affine. Denne masteroppgaven har som mål å utvikle teknikker for håndtering av slike problemer anvendt på solidmekanikk. Dette gjøres gjennom utvikling og testing av Matrise Minste Kvadraters-teknikken, der Matrise Minste Kvadraters refererer til et minste kvadraters tilpasningsproblem for matriser.

I casestudiene studerer vi tre forskjellige tilfeller av geometrideformasjoner på et rektangel ved å bruke planspenningstilfelle-problemet med Konstant Volumkraft i 2D. Her begrenser vi oss også til de tilfellene hvor det finnes foreskrevet forskyvning på deler av randen. (i) Volumkraften, (ii) den foreskrevne forskyvningen og (iii) den foreskrevne trekkraften, på de andre delene av randen, er uavhengige av de materielle parametriseringsparametrene vi velger, dvs. domenet og dermed dets rand avhenger av de geometriske parametriseringsparametere vi velger. Dette fører oss til å teste og observere effekten av Matrise Minste Kvadraters-teknikken på affine og ikke-affine problemer.

Konklusjonen fra denne oppgaven er at den utviklede Matrise Minste Kvadraters-teknikken fungerer godt når vi har nok øyeblikksbilder og er godt innenfor det maksimale gyldige geometriparameterrommet for Taylor-utviklingen. Dette er fordi når vi brukte det på et problem med over 10 000 frihetsgrader, observerte vi en beregningsmessig tidsbesparelse av størrelsesorden 600 og teknikken deler opp matrisene til et affint problem som ønsket. Vi konkluderer også med at det overordnede målet med oppgaven er oppnådd siden vi først grundig studerte den grunnleggende teorien bak redusert basis modellering ved bruk av endelige elementer, presenterte Matrise Minste Kvadraters-teknikken og anvendte teorien på våre begrensede tilfeller av de Lineære Elastisitetsligningene. For det andre bygget vi en løser og testet den, og til slutt bruke vi den til å teste Matrise Minste Kvadraters-teknikken og studerte et enkelt numerisk eksempel ved å bruke teknikken for forskjellige ikke-affine geometrier. For fremtidig arbeid foreslår vi å undersøke bruken av sparsom øyeblikksbildegenerering, utvidelsen til 3D, enda kompleksere geometri og andre partielle differensiallikninger.

To enable the full power of the offline-online concept in Reduced Order Modelling (ROM) the parametrized problem must be affine under variation of the parameters. However, many relevant problems, in particular those involving parametrized geometry, are not affine. The present master project aims to develop techniques for handling such cases applied to solid mechanics. This is done through the development and testing of the Matrix Least Squares technique, where Matrix Least Squares refers to a least square fitting problem for matrices.

In the case studies, we study three different cases of geometry deformations on a rectangle using the plane stress problem of Constant body force in 2D. Here we also restrict ourselves to the cases where there is some prescribed displacement on parts of the boundary. (i) The body force, (ii) the prescribed displacement, and (iii) the prescribed traction, on the other parts of the boundary, are independent of the material parametrization parameters we choose, i.e. the domain and thereby its boundary depend on the geometric parametrization parameters we choose. This leads us to testing and observing the effect of the Matrix Least Squares technique on affine and non-affine problems.

The conclusion from this thesis is that the developed Matrix Least Square technique performs well when we have enough snapshots and are well within the maximum valid geometry parameter range for the Taylor expansion. This is because when using it on a problem with over 10 000 degrees of freedom we observed a computational speedup of order 600 and the technique splits the matrices of an affine problem as desired. We also conclude that the overall objective of the thesis is achieved since we first thoroughly studied the basic theory behind the reduced basis methods using finite elements, presented the Matrix Least Square technique, and applied the theory to our restricted cases of the Linear Elasticity Equations. Then secondly, we built a solver and tested it, and then finally, we used it to test the Matrix Least Square technique and studied a simple numerical example using the technique for different non-affine geometries. For future work, we suggest to investigate the use of sparse snapshot generation, the extension to the 3D case, even more complex geometry and other partial differential equations.