Using Physics Informed Neural Network to find controller gains by solving first-order hyperbolic linear partial differential equations.

Abstract

Denne masteroppgaven tar for seg hvordan man kan bruke fysikk-informerte nevrale nettverk (FINN) til å løse et sett med kjerneligninger, som gir parameterverdier til en infinitt-dimensjonal backstepping regulator. Den infinitte-dimensjonale backstepping regulatoren regulerer et system som kan beskrives av 2 x 2 hyperbolske partielle differensialligninger. Ved å finne parameterverdiene til regulatoren og benytte denne på systemet, vil man kunne styre systemet slik at det oppnår eksponentiell stabilitet i endelig tid. For å løse disse ligningene benytter man typisk en klassisk numerisk løser, som f.eks Kernel Solver. Disse numeriske løserne kan være komplekse å utvikle og modifisere ved behov. I nyere tid har FINN blitt utviklet og er en type numerisk metode innafor dyp læring som også kan løse PDE-er. FINN kan løse PDE-er på en dataeffektiv måte ved at den bruker fysiske lover til å avgrense og regulere domenet til løsningene. I tillegg vil rammeverkene som følger med dyp læring, som inkluderer metoder som automatisk differensiering og bruk av tensorer, gjøre implementering av FINN til en relativt radig oppgave, som i tillegg er enkelt å gjøre endringer på senere. Resultatene viser at FINN løser kjerneligningene for den spesielle og generelle utgaven av ligningene. FINN vil derimot, ved ekstreme verdier, slite med nøyaktigheten sammenligna med Kernel Solver. Når FINN sliter med nøyaktigheten kan man vekte et ledd i tapsfunksjonen for å forberede nøyaktigheten. Disse ekstreme verdiene støter man kanskje ikke på i det virkelige liv og det er nærliggende å tenke at når man kan forberede nøyaktigheten for ekstreme verdier, så vil dette også være mulig for mindre ekstreme verdier.

This thesis aims to use a physics-informed neural network (PINN) to solve a set of Kernel equations whose solutions are parametric values utilised in an infinite-dimensional backstepping controller. The infinite-dimensional backstepping controller controls a system denoted by 2 x 2 hyperbolic partial differential equations. Finding the parametric values of the controller and using them to control the system enables the system to reach exponential stability in finite time. Typically a classical numerical solver, such as the Kernel Solver, would be used to solve these equations. However, these numerical solvers can be complex to develop and modify once developed. Fairly recently PINN has emerged as a deep learning numerical method that can solve PDEs. PINN can solve PDEs in a data-efficient way by using physical laws to constrain and govern the domain of the solutions. Moreover, the framework used in deep learning methods, such as automatic differentiation and tensors, makes implementing PINN a relatively easy task that can easily be modified if needed. The results show that PINN can solve the Kernel equations for special and general cases. However, PINN will struggle with the accuracy for extreme parameter values compared with the Kernel Solver. When PINN struggles to be as accurate as the Kernel Solver, weighting one of the loss terms was found to be a reasonable good method to improve the accuracy. In practice these extreme values might never be considered. However by testing the limits of PINN and improving the results for extreme values, we know that this will also be possible for less extreme values.