Quivers, Gröbner bases, and tensor products

Abstract

Vi presenterer teori for Gröbner-basis i algebraer med multiplikativ basis, og spesielt for Gröbner-basis i vei-algebraer.

Vi viser hvordan man kan konstruere tensorproduktet $\Lambda \otimes_K \Gamma$ av algebraer $\Lambda$ og $\Gamma$ som en kvotient av an vei-algebra, når $\Lambda$ og $\Gamma$ er gitt som kvotienter av vei-algebraer. Vi utvider dette til et nytt resultat som viser hvordan vi kan konstruere tensorproduktet $\Lambda \otimes_\Sigma \Gamma$, der $\Sigma$ er en annen algebra. I tillegg viser vi hvordan vi eksplisitt kan beskrive en Gröbner-basis for tilfellet der tensorproduktet tas over kroppen $K$.

Vi undersøker også, gitt et kogger $Q$ og et ideal $I \subseteq KQ$ som tilfredsstiller betingelsen $$J_Q^m \subseteq I$$ for en eller annen verdi av $m$, hvordan vi kan finne et nytt kogger $Q'$ og et ideal $I' \subseteq KQ'$ slik at $$KQ/I \cong KQ'/I',$$ og slik at $I'$ er et tillatelig ideal, det vil si $$J_{Q'}^m \subseteq I \subseteq J_{Q'}^2$$ for en eller annen verdi av $m$.

We present the theory of Gröbner bases in algebras with a multiplicative basis, and in particular of Gröbner bases in path algebras.

We show how to construct the tensor product $\Lambda \otimes_K \Gamma$ of algebras $\Lambda$ and $\Gamma$ as a quotient of a path algebra, when $\Lambda$ and $\Gamma$ are given as quotients of path algebras. We extend this to a new result showing how we can construct the tensor product $\Lambda \otimes_\Sigma \Gamma$, where $\Sigma$ is another algebra. Additionally, we show how we can explicitly describe a Gröbner basis for the case where the tensor product is taken over the field $K$.

We also investigate how, given a quiver $Q$ and an ideal $I \subseteq KQ$ satisfying the condition $$J_Q^m \subseteq I$$ for some $m$, we can find a new quiver $Q'$ and ideal $I' \subseteq KQ'$ such that $$KQ/I \cong KQ'/I',$$ and such that $I'$ is an admissible ideal, i.e.\ $$J_{Q'}^m \subseteq I' \subseteq J_{Q'}^2$$ for some $m$.