Concerning some aspects of twisted generating functions

Abstract

Formodningen om nærliggende Lagrangemangfoldigheter postulerer at enhver lukket og eksakt Lagrangamangfoldighet L i kotangentbunten til en lukket mangfoldighet M er hamiltonsik isotop til nullseksjonen. I lys av et teorem vist av Sikorav tilsier dette at L lar seg besrkive av en genererende funksjon. Giroux og Latour har bevist at L lar seg beskrive av en genererende funksjon hvis og bare hvis den stabile Gaussavbildningen til L er nullhomotop.

En svakere type objekter kalt vridde genererende funksjoner ble introdusert i artikkelen "Twisted generating functions and the nearby Lagrangian conjecture" av M. Abouzaid, S. Courte, S. Guillermo og T. Kragh. Forfatterne beviser her et eksistensteorem for vridde genererende funksjoner, og bruker et doblingstriks for å gjøre beregninger i Morsehomologi med slike funksjoner. Som vist av Abouzaid, Kragh, Fukaya, Seidel, Smith, Nadler og, mer nylig, av Guillermo, induserer kotangentprojeksjonen en homotopiekvivalens mellom L og M. Forfatterene utleder en Morseteoretisk konsekvens av denne homotopiekvivalensen, og bruker så Böksteds teorem fra algebraisk K-teori til å bevise at den stabile Gaussavbildningen til L er triviell på homotopigrupper.

Denne masteroppgaven inneholder detaljer, bakgrunnsstoff og alternative fremstillinger relatert til "Twisted generating functions and the nearby Lagrangian conjecture". Dette fordelt utover tre hovvedområder:

1. Egenskapene til klassifiseringsrommet B(F,Q) definert av en topologisk monoide Q som virker på et rom F. 2. Et alternativt bevis for fibrasjonsegenskapen til transversale Lagrangeplan under symplektisk reduksjon. 3. Detaljer knyttet til Morseteorien til vridde genererende funksjoner, og en spektralfølge.

The nearby Lagrangian conjecture predicts that any closed exact Lagrangian L in the cotangent bundle of a closed manifold M is Hamiltonian isotopic to the zero section. Via a theorem of Sikorav, the conjecture predicts that L admits a generating function. As shown by Giroux and Latour, having a generating function is equivalent to the stable Gauss map of L being nullhomotopic.

A weaker class of objects, called twisted generating functions, were introduced in the recent paper "Twisted generating functions and the nearby Lagrangian conjecture" by M. Abouzaid, S. Courte, S. Guillermo and T. Kragh. The authors prove an existence result for such twisted functions, and perform a doubling trick to be able to do Morse theory. As shown by Abouzaid, Kragh, Fukaya, Seidel, Smith, Nadler and more recently Guillermo, the map induced by projecting in the cotangent bundle gives a homotopy equivalence between L and M. A Morse theoretic consequence of this equivalence is extracted, and this is combined with Böksted's theorem in algebraic K-theory to conclude that the stable Gauss map is trivial on homotopy groups.

This thesis aims to provide additional details, background material and alternative viewpoints related to the results in "Twisted generating functions and the nearby Lagrangian conjecutre". The thesis has three main parts:

1. Properties of the classifying space B(F,Q) associated to a topological monoid Q acting on a space F. 2. An alternative proof of the homotopy lifting property of transversal Lagrangians under symplectic reduction. 3. Details on the Morse theory of the twisted generating function and a spectral sequence argument.