Reduced Order Modelling of Component Based Analysis for Stokes Flow

Abstract

En parameteravhengig versjon av Stokes Partielle Differensialligning (PDE) undersøkes, med et mål om å modellere flyt i et villkårlig rørsystem. Rørsystemet bygges opp av subdomener kalt komponenter eller erketyper. Stokes ligning løses lokalt på hver erketype ved bruk av en Blandet Endelige Elementers Metode (FEM) med firkantede Taylor-Hood elementer, og Galerkins Reduserte Basis (RB) metode benyttes sammen med en algoritme for Ekte Ortogonal Dekomposisjon (POD) for å lage en Redusert Ordens Modell (ROM) for hver erketype. Bruken av ROM reduserer kompleksiteten til det lineære ligningssystemet som gjelder for hver erketype fra $\sim 10^4$ frihetsgrader (dofs) til $\sim 50$ dofs, hvilket gjør at det lineære ligningssystemet kan løses for alle nye valg av parametere i sanntid, med minimalt tap av nøyaktighet ( $\sim 10^{-3}$ målt i både $L^2$ norm og $H^1$ semi-norm). Når to erketyper sammenkobles, gjøres en minste-kvadrats tilpasning på løsningen i rand-nodene ved utløpet til den første erketypen, som igjen benyttes som løfte-funksjon for den etterfølgende erketypens innløpsrand. Trykket i den første erketypen løftes slik at det sammenfaller med trykket ved innløpet til den etterfølgende erketypen.

Denne fremgangsmåten viser seg å være veldig effektiv når komplekse rørsystem undersøkes, med en relativ endring i volumstrøm fra første innløp til siste utløp på under $10^{-3}$, selv i systemer konstruert fra opp til 30 komponenter. Det fulle systemet lar seg typisk løse på $\sim 1$ sekund, hvor en ekvivalent Full Ordens Modell (FOM) ville hatt over $10^5$ dofs. Særlig det å konstruere nye komplekse systemer viser seg å være veldig effektivt, da det kun krever at en spesifiserer hvilke komponenter som skal brukes og parameterverdiene for disse komponentene.

En begrensning med denne fremgangsmåten blir også oppdaget. Når en benytter forgrenende rør, så er det ingen mulighet for å retroaktivt endre trykkgradienten til den foregående erketypen, noe som resulterer i uriktige flyt-rater etter forgreningen. Dermed er fremgangsmåten begrenset til rørsystemer med ett utløp. Trykk på denne lenken for å få tilgang til all kode "https://github.com/Hansi77/Master".

A parameter dependent version of the Stokes Partial Differential Equation (PDE) is considered, with the goal of modelling flow in arbitrary pipe systems. The pipe systems are created from sub-domains called components or archetypes. The Stokes equation is solved locally on each archetype using a Mixed Finite Element Method (FEM) with quadrilateral Taylor-Hood elements, and the Galerkin Reduced Basis (RB) method is used with the Proper Orthogonal Decomposition (POD) algorithm to create a Reduced Order Model (ROM) for each archetype. The ROM approach reduces the complexity of the linear system governing each archetype from $\sim 10^4$ degrees of freedom (dofs) to $\sim 50$ dofs, thus the linear system can be solved for any new choice of parameters in real-time, with minimal loss of accuracy ($\sim 10^{-3}$ measured in both the $L^2$ norm and the $H^1$ semi-norm). When connecting two archetypes, a least-squares fit is performed on the solution at the outlet boundary nodes of the first archetype, and used as a lifting function for the following archetype inlet boundary. The pressure of the preceding archetype is shifted to match the pressure at the inlet of the following archetype.

The approach is found to be very effective when considering complex pipe systems, with the relative change in volume flow from the first inlet to the final outlet staying below $10^{-3}$, even with systems consisting of up to $30$ components. The full system is usually solved in $\sim 1$ second, where an equivalent Full Order Model (FOM) would have more than $10^5$ dofs. Especially constructing new complex systems is shown to be very efficient, as it only requires one to specify what components to use and the parameter values for those components.

One limitation of this approach is also discovered. When dealing with bifurcating pipes, there is no way to retroactively change the pressure gradient of the previous archetype, resulting in incorrect flow rates following the bifurcations. Thus this approach is limited to single-outlet systems. Click this link to access the code https://github.com/Hansi77/Master.