Shape analysis for inverse problems

Abstract

Denne oppgaven undersøker problemet med å invertere Radon-transformasjonen av en form, hvor vi kun har tilgjengelig data fra et fåtall vinkler i et begrenset intervall. For å løse dette foreslår vi en regulariseringsfunksjonal, hvor straffeleddet av funksjonalen er basert på forskjellen i krumningsenergien mellom den rekonstruerte kurven og en a priori gjetning. Den illestilte operatorlikningen approksimeres med et minimeringsproblem som involverer den foreslåtte regulariseringsfunksjonalen. For å håndtere ikke-deriverbarheten til funksjonalen utleder vi en glatt approksimasjon, før vi implementerer en metode for å løse problemet numerisk. Den rekonstruerte løsningen blir så brukt som a priori gjett neste gang vi minimerer funksjonalen, og dette repeteres så for et bestemt antall iterasjoner. De numeriske eksperimentene viser at, med mindre vi har en veldig god initialisering av formen, de beste rekonstruksjonene oppnås med en viss grad av regularisering. Dette resultatet er enda tydeligere når det er tilfeldig støy i den tilgjengelige dataen.

We consider the problem of inverting the Radon transform of a shape, with only sparse data from limited angles available. We propose a regularization functional, where the penalty term is based on the difference in bending energy of an a priori guess and the reconstructed shape. We approximate the ill-posed operator equation by a minimization problem involving the proposed regularization functional. In order to deal with the non-differentiability of the functional, we derive a smooth approximation, before implementing a method to solve the problem numerically. The reconstructed solution is then used as a priori guess in the next minimization of the functional. This is repeated for a fixed number of iterations. Numerical experiments show that, unless we have a very good initial guess of how the shape looks like, the best reconstructions is obtained with some degree of regularization. This result is even more apparent when the available data contains random noise.