Active Turbulence of Self-Propelled Particles with Hydrodynamic Interactions

Abstract

I denne avhandlingen presenter vi simuleringer av et 2-dimensjonelt (2D) aktivt system bestående av polare, selvdrevne partikler med langtrekkende hydrodynamiske vekselvirkninger. Dette er en modell for mikroorganismer som svømmer i et fluid hvor bevegelse i en tredje dimensjon er begrenset. Et slikt system er et eksempel på aktiv materie, som i fysikk er definert som systemer av partikler som tar energi fra omgivelsene og omdanner den til systematisk bevegelse og dermed beveger seg på egenhånd. I denne avhandlingen er vi spesielt interesserte i hvordan kollektiv, turbulentlignende oppførsel oppstår i slike systemer. Dette er kjent som aktiv turbulens.

Vi anvender sentrale konsepter fra studier av inertiell turbulens i fluider med høye Reynoldstall, som Kolmogorovs skaleringslov $k^{-\beta}$ for energispektra, hvor $\beta=5/3$. Aktiv og inertiell turbulens beskriver fundamentalt forskjellig fysikk siden førstnevnte oppstår ved lave Reynoldstall, og enda viktigere fordi energi tilføres lokalt i aktive systemer som følge av at partiklene er selvdrevne. Eksempelvis viser Alert et. al. (2020) at i aktive nematiske fluider er skaleringseksponenten $\beta=1$.

De hydrodynamiske vekselvirkningene er motivert gjennom at partiklenes svømming og egenbevegelse skaper et hastighetsfelt i fluidet de beveger seg i. I 2D tar dette feltet en dipolar form, og partiklene innretter seg etter hverandres induserte hastighetsfelt. Vi legger også til en kortrekkende ordningsvekselvirkning mellom partiklene. Systemet blir simulert med periodiske grensebetingelser ved bruk av hydrodynamiske speildipoler. Vi understreker at denne modellen er støyfri og dermed vil observert turbulent oppførsel være et resultat av deterministisk støy.

Vi presenterer resultater fra et system med gitte innrettingskoeffisienter og tetthet. I dette systemet finner vi at energispektrumet følger en skaleringslov med eksponenten $\beta=1.3$ på stor skala. Vi observer også en ikke-Gaussisk utvidelse av sannsynlighetstetthetsfunksjonene for hastighetsforskjeller på liten skala. En tredje observasjon fra systemet er en overgang fra ballistisk til diffusiv oppførsel for det kvadratiske gjennomsnittet av partiklenes forflytning. Systemet oppfyller dermed tre standardkriterier for inertiell og aktiv turbulens. Forfatteren kjenner ikke til at aktiv turbulens tidligere har blitt demonstrert i en mikroskopisk modell for polare svømmere med langtrekkende hydrodynamiske vekselvirkninger, så dette kan være en nyttig observasjon i den generelle forståelsen av aktiv turbulens. Gjennom sammenligninger med systemer med andre parametre finner vi at spektra skalerer raskere med økt tetthet.

Vi konkluderer med at i dette systemet kommer aktiv turbulens og skaleringseksponenten $\beta$ som et resultat av balansen mellom den langtrekkende dipolare innrettingsvekselvirkningen som skaper hydrodynamiske ustabiliteter og uorden i systemet, og den kortrekkende ordningsvekselvirkningen som ordner partiklene. Ved høyere tettheter blir sistnevnte mer dominant og skaper koherente flokker på liten skala, noe som igjen fører til forsterkede fluktuasjoner på stor skala.

In this thesis we present results from simulations of a 2-dimensional (2D) active system of polar, self-propelled particles with long-range hydrodynamic interactions. This models a system of swimming micro-organisms in a confined fluid, which is an example of active matter. In physics active matter is defined by systems where the constituents are able take some kind of energy from its environment and transform it into systematical movements and thus self-propel. In this thesis we are specifically interested in how turbulent-like behaviour in the collective motion, known as active turbulence, arises in such systems.

We invoke central concepts from inertial turbulence in fluids with high Reynolds numbers, like the $k^{-\beta}$ scaling of the energy spectrum from Kolmogorov theory, where $\beta=5/3$. Active turbulence describes fundamentally different physics as it occurs at very low Reynolds number, and more importantly because energy is injected locally through the self-propulsion of the particles. As an example Alert et. al. (2020) show that the scaling exponent is $\beta=1$ for active nematic fluids.

The hydrodynamic interactions between the particles are motivated by the flow field of the surrounding fluid induced by the self-propulsion of the particles. This takes a dipolar form in 2D and the particles reorientate with respect to the field induced by each other. A short-range particle alignment interaction is also introduced, and the system is simulated with periodic boundary conditions using hydrodynamic image dipoles. We emphasize that this model contains no noise, therefore the observed turbulent behaviour will be a result of deterministic chaos.

We present results from a system with given flow alignment coefficients and density. This system displays power law scaling of the energy spectrum with an exponent $\beta=1.3$ on large scales. In addition it displays a non-Gaussian broadening of the probability density functions for the velocity increments, with an increasing broadening at shorter scales. Thirdly, there is a transition from a ballistic to a diffusive regime in the mean square displacement of the particles in this system. Thus, the system meets the standard criteria of inertial and active turbulence. To the author's knowledge active turbulence has not been demonstrated earlier in a microscopical model of polar swimmers with long-range hydrodynamic interactions. This can be a useful finding for the general understanding of active turbulence. Comparisons with systems with other parameters show that the scaling exponent of the energy spectra increases with density.

We conclude that active turbulence and scaling exponents $\beta$ in this system results from the balance between the long-range dipolar flow interaction that creates hydrodynamic instabilities and breaks order in the system, and the short-range alignment interaction which favours order. At higher densities the latter becomes more dominant and generates coherent flocks on short scales, which in turn leads to amplified fluctuations on large scales.