2D wavelet analysis of the free surface with subsurface turbulence

Abstract

Wavelet-transformasjoner er et kraftig verktøy i dataanalyse og datasyn. Her skal vi bruke dem til å identifisere turbulente strukturer i nærheten av overflaten ved å se på avtrykket de har på overflaten. 2D-wavelet-transformasjonen ved hjelp av MATLAB Wavelet Toolbox ble implementert på overflaten av ``Direct Numerical Simulation" (DNS) data for å finne både virvler og opp- og nedvellinger.

Dataene inneholdt både overflatehøyden og hastighets- og trykkfeltene under. Ved hjelp av hastighetsfeltet ble virvlene og opp- og nedvellingene plassert. Virvlene ble identifisert ved hjelp av en metode for å finne virvelkjerner i et gitt hastighetsfelt. For opp- og nedvellingene ble overflatedivergensen brukt, da disse strukturene dukker opp i områder med svært stor (oppvelling) eller svært små (nedvelling) divergens.

2D-wavelet-transformasjonen av overflatehøyded ble utført og sammenlignet med plasseringen av de turbulente strukturer i nærheten av overflaten som ble funnet ved hjelp av hastighetsfeltet. ``Mexican hat" waveleten var den som ble brukt for det meste av arbeidet. Med denne waveleten, ga virvlen sterke lokaliserte positive verdier i wavelet-rommet, mens opp- og nedvellingene ga negative verdier. Når vi bare ser på de positive verdiene over en viss terskel dukket det op andre stukturere enn virvlene, sannsynligvis strukturer nær opp- og nedvellinger. Imidlertid har virvlene en karakteristisk sirkulær form, mens disse andre strukturene er langstrakte. Styrken til virvler ble også sammenlignet med responsen de hadde i wavelet-rom, og det ble funnet noe sammenheng, men bare et begrenset antall virvler ble testet i dette tilfellet.

For opp- og nedvellingene, ble de filtrert gangske bra når man ser kun på verdier i wavelet rom under en viss terskel. Siden disse overflatestrukturene er noen ganger langstrakte, ble en anisotrop versjon av ``Mexican hat" også testet for å se om den ga bedre resultater. For den minste skala, en klemt versjon av waveleten ga litt bedre resultater enn bare å bruke den isotropiske versjonen.

Til sist, ble det oppdaget at overflatekurvaturen lignet veldig på små skala wavelet transformasjonen og dette ble undersøkt. Det visste seg at å transformere med ``Mexican hat" er veldig nærme en høy ordens sum av de andrederiverte.

Wavelet transformations are a powerful tool in data analysis and computer vision. Here we use them to identify near surface turbulent structures by looking at the imprint they have on the surface. The 2D wavelet transformations using the MATLAB Wavelet Toolbox was implemented on the surface of Direct Numerical Simulation (DNS) data to find both attached vortices and up- and downwellings.

The data contained both the values for the surface elevation and the velocity and pressure field underneath. Using the velocity field the attached vortices and the up- and downwellings where located. The attached vortices were identified using a method for finding vortex cores for a given velocity field. For the up- and downwellings the surface divergence was used, as these structures appear in areas of very large (upwellings) or very small (downwellings) divergence.

The 2D wavelet transform of the surface elevation was performed and compared with the location of the near surface turbulent structures found using the velocity field. The Mexican hat wavelet was the main wavelet used. It turned out that, with this wavelet, the attached vortices gave strong localised positive values in wavelet space, while the up- and downwellings gave negative values. When only looking at the positive values above a certain threshold, other structures then the attached vortices also appeared, probably lingering structures close to up and downwellings. However, the attached vortices have a characteristic circular shape, while these other structures are mainly elongated. The strength of the vortices was also compared to the response they had in wavelet space and some correlation was found, however, only a limited number of vortices were tested in this case.

For the up- and downwellings looking only at the negative values of the threshold below a certain value filtered out these structures quite well. Since these surface structures are sometimes elongated, an anisotropic version of the Mexican hat was tested as well to see if it resulted in a better fit. For the smallest scale, squeezing the wavelet gave slightly better results than just using the isotropic version.

Lastly, the mean surface curvature bared a good resemblance to the small scale wavelet transform and this was investigated. It turns out that transforming with the Mexican hat wavelet is close to a high order sum of the second derivatives of the surface.