External Gluons in QCD Scattering Amplitudes

Abstract

Manifest Lorentz-kovarians krever at man legger til langsgående polarisasjons- vektorer i summen over polariseringer for justerbosoner. Det resulterende kovariante utrykket brukes også som teller i Feynman-t' Hooft propagatoren. Unitær symmetri sammen med Cutkosky-regelen impliserer at denne telleren kan brukes også til å summere over sluttilstander. Dette er lærebok-metoden for å beregne kvadrerte amplituder i QED, gitt at vi summerer over polariseringer. For å anvende metoden i QCD må mellomliggende tilstander med Faddeev-Popov spøkelser også tas i betraktning. Vi ser på kvark-annihilasjon og gluon-spredning ved laveste orden i perturbasjons-teori. Der anvender vi Feynman-t' Hooft telleren til å summere over sluttilstander og reproduserer de velkjente resultatene fra litteraturen. Ved å se på Cutkosky-regelen i detalj, belyser vi flere subtile aspekter ved annvendelsen i QCD. Generaliseringen til vilkårlig orden i perturbasjons-teori og med vilkårlig antall eksterne gluoner diskuteres også. Her vektlegges Slavnov-Taylor identitetene som tilrettelegger kansellasjonen av ufysiske frihetsgrader generelt. Disse identitetene kvantifiserer også den store graden av overflødighet i amplituder beregnet fra Feynman-regler. Den andre delen av dette arbeidet ser på den moderne helisitet-metoden, som unngår noe av denne overflødigheten. Denne effektive metoden anvendes på flere eksempler, og sammenlignes med lærebok-metoden.

To ensure manifest Lorentz covariance, longitudinal and timelike polarizations have to be added to the sum over gauge boson polarizations. The resulting covariant sum is used as the propagator numerator in the Feynman-t' Hooft gauge. Unitarity together with the Cutkosky prescription implies that this numerator can be used also to sum over final states. This is the textbook approach to computing squared amplitudes in QED, given that we sum over polarizations. To apply the method to QCD the intermediate states with Faddeev-Popov ghosts must be considered as well, complicating the procedure. We consider tree level quark-annihilation into two gluons and gluon-gluon scattering and apply the method on up to four external gluons, reproducing the well know results. By treating in detail the Cutkosky prescription some subtle points of the application to QCD are elucidated. Also the generalization to any order in perturbation theory and with any number of external gluons is made clear. Emphasis is put on the Slavnov-Taylor identities that ensure the cancellation of unphysical degrees of freedom in general. These identities also quantify the large amount of redundancy in the amplitude as calculated from Feynman rules. The second part of this work considers the modern spinor-helicity approach to circumvent this redundancy and to obtain more directly gauge invariant on-shell amplitudes. This efficient technology is applied to several examples, and compared to the standard approach.