Traveling Wave Solutions for the Hunter-Saxton Equation

Abstract

I denne oppgaven studerer vi vandrende bølgeløsninger for Hunter-Saxton likningen. Vi benytter en lime-formalisme som lar oss lime sammen to klassiske vandrende løsninger langs en kurve. Dette lar oss konstruere svake sammensatte vandrende bølger, som er gyldige i et større område så lenge visse kriterier er oppfylt. Ved å bruke disse betingelsene er vi i stand til å klassifisere alle mulige svake vandrende bølger. Blant disse er "cuspons" og "stumpons" av spesiell interesse. Disse går asymptotisk til pluss/minus uendelig. Videre legger vi til en ekstra energilikning, som benyttes for å utlede ekstra betingelser som må være oppfylt for svake konservative vandrende bølger. Det viser seg at disse betingelsene utelukker mesteparten av de svake løsningene, bortsett fra "cuspons". Videre studerer vi "cuspons" i mer detalj, og utleder et ODE-system som må være tilfredsstilt for løsninger langs karakteristikker. Dette systemet anvendes så til å gi en formell fysisk forklaring på hvorfor ingen av de andre svake bølgene klassifiseres som konservative.

Videre i oppgaven presenterer vi en allerede eksisterende algoritme, som kan brukes til å approksimere konservative løsninger til den integrerte Hunter-Saxton likningen. Vi poengterer hvorfor den nåværende formuleringen av denne algoritmen er utilpass for å simulere konservative vandrende bølger. For å håndtere dette introduserer vi en modifisert algoritme, som istedenfor er basert på den differensierte formuleringen av Hunter-Saxton likningen. Dette fører til at vi får mer fleksibilitet når vi skal konstruere en numerisk grid. Vi benytter en grid som beveger seg for å være i bedre stand til å simulerer konservative vandrende bølger. Deretter tester vi ut algoritmen på noen eksempler. Vi gir en mulig formell forklaring på hvorfor vi observerer avvik mellom den numeriske approksimasjonen og den faktiske løsningen for konservative vandrende bølger.

In this thesis we study traveling wave solutions for the Hunter-Saxton equation. We employ a gluing formalism which allows us to glue together two local, classical traveling wave solutions along a curve in order to produce a weak composite traveling wave in a larger region, provided certain requirements are met. Using these requirements we are able to classify all possible weak traveling waves. Of particular interest are cuspons and stumpons. For the Hunter-Saxton equation these tend asymptotically to plus/minus infinity. Then we augment the Hunter-Saxton equation by an energy equation, in order to derive additional conditions that need to be satisfied by weak, conservative traveling waves. In particular this severely limits the possible waves, and we are only left with cuspons as candidates for nontrivial weak, conservative traveling waves. We analyze cuspons in greater detail, and derive a system of ODEs which needs to be satisfied when following the solutions along characteristics. This is used to give a formal physical explanation to why none of the other weak traveling waves are conservative.

Moreover we present an already existing algorithm for approximating conservative solutions to the integrated formulation of Hunter-Saxton equation, and we point out why the current formulation of this algorithm is inadequate in the setting of conservative traveling waves. To overcome the met obstacles, we introduce a modified algorithm, which is based on the differentiated formulation of the Hunter-Saxton equation rather than the integrated one. As a result we obtain more flexibility in the mesh construction, and we adapt a moving mesh in order to simulate conservative traveling waves. Then we show by a few examples how the newly introduced algorithm perform. Finally we give a plausible explanation to the cause of the observed discrepancies between the numerical approximation and the true solution.