Simplicial Sheaves and Classification Problems

Abstract

Denne avhandlingen forsøker å utforske og å videreføre ideene fra [FH13]. For å oppnå dette, tar vi først for oss noen av forkunnskapene som trengs, inkludert tensorer, bunter, koblinger, og Chern-Weil-homomorfien. Etter det, så følger vi utredningen fra artikkelen, og introduserer språket brukt for å beskrive preknipper, simplisielle mengder, og simplisielle knipper, for så å finne et klassifiseringsrom for alle glatte hovedbunter med kobling i kategorien av simplisielle preknipper og, ved bruk av abstrakt homotopiteori, viser at de konjugat-invariante polynomene på Lie-algebraen induserer alle de naturlige differensialformene en kan konstruere fra en kobling. Til slutt viker vi fra artikkelen for å utforske hva som skjer når hovedbuntene er holomorfe, og finner et klassifiseringsrom for alle holomorfe hovedbunter med holomorf kobling.

This thesis aims to explore and expand on the ideas in [FH13]. To this end, we first give a brief exposition on some of the needed preliminaries, including tensors, bundles, connections, and the Chern-Weil homomorphism. Going forward, we follow the aforementioned paper and introduce the language of presheaves, simplicial sets, and simplicial sheaves, before finding a classifying space for all smooth principal bundles with connection in the category of simplicial presheaves and, using some abstract homotopy theory, show that the conjugation-invariant polynomials on the Lie algebra induce all the natural differential forms one can construct from a connection. Lastly, we depart from the paper and explore what happens in the case of holomorphic principal bundles, and find a classifying space for all holomorphic principal bundles with holomorphic connection.