Computing motivic homotopy classes on the projective line by algebro-geometric methods

Abstract

La $k$ være en kropp. Vi undersøker en algebraisk beskrivelse av mengden $[\P^1,\P^1]^{\A^1}$ av \emph{$\A^1$-homotopiklasser} av $k$-skjemaendomorpfier med basepunkt av den projektive linja $\P^1$. Inspirert av Cazanave sine metoder \cite{Caz}, leter vi etter en gruppestruktur på $[\J,\P^1]^{\A^1}$ fra Jouanoulouverktøyet $\J$ assosiert til $\P^1$. Siden $\J$ er et affint k-skjema, impliserer et teorem av Asok--Hoyois--Wendt at $[\J,\P^1]^N$ er isomorft til $[\P^1,\P^1]^{\A^1}$. Hovedresultatet er en ny beskrivelse av mengden $[\J,\P^1]^N$ ved hjelp av konkrete algebra-geometriske metoder ved å unngå bruken av det abstrakte $\A^1$-homotopimaskineriet.

Let $k$ be a field. We investigate an algebraic description of the set $[\P^1,\P^1]^{\A^1}$ of \emph{$\A^1$-homotopy classes} of pointed $k$-scheme endomorphisms of the projective line $\P^1$. Inspired by the methods of Cazanave in \cite{Caz}, we look for a group structure on $[\J,\P^1]^{\A^1}$ from the Jouanoulou device $\J$ associated to $\P^1$. Since $\J$ is an affine $k$-scheme, a theorem of Asok--Hoyois--Wendt implies that the $[\J,\P^1]^N$ is isomorphic to $[\P^1,\P^1]^{\A^1}$. Our main result is a new description of the set $[\J,\P^1]^N$ by use of concrete algebro-geometric methods avoiding the abstract $\A^1$-homotopy machinery.