Numerical Methods for Highly Oscillatory Problems

Abstract

Classical quadrature methods, i.e. methods for numerical integration,require discretizations that become more fine the more the integrandis oscillating. Conversely, asymptotic methods provide approximationsof the same integrals that are increasing in accuracy for increasingoscillations, but suffer from problems with accuracy and convergencefor intermideate oscillatory regimes. Although oscillatory quadraturemethods are nothing new, only recently have such methods been properlyanalysed. Along with this effort, some new methods have emerged, aswell as improvements of existing methods.

This work comprises a study of such oscillatory quadrature methods andsome suggestions for improvement. The problem of high frequencyscattering from a smooth, convex obstacle provides an applicationwhere oscillatory quadrature methods can lead to new insight. Inparticular it is shown how, from an integral equation formulation,high order asymptotics is efficiently obtained.

Klassiske kvadraturme-toder, d.v.s. numeriske integrasjonsmetoder, krever diskretiseringer som må blifinere jo mer integranden oscillerer. På den andre siden finnes det asymptotisketeknikker som gir approksimasjoner som øker i nøyaktighet med økende oscil-lasjoner, men som har problemer med nøyaktighet og konvergens ved lavere frekvenser.Oscillatoriske kvadraturmetoder er ikke en ny oppfinnelse, men bare i det siste harslike metoder blitt tilstrekkelig godt analysert. Med dette har også nye metoderkommet fram, og også forbedringer av eksisterende metoder.

Dette arbeidet inneholder en studie av slike oscillatoriske kvadraturmetoder ogutforsker enkelte forbedringer av metodene. Spredning av høyfrekvente bø̧lgerfra et glatt, konvekst objekt er behandlet et eksempel på et matematisk problemhvor ny innsikt kan oppnås med oscillatoriske kvadraturmetoder. Spesielt vises dethvordan det fra en integrallignings-formulering av dette problemet kan beregneshøyereordens asymptotiske approksimasjoner.